Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

61
Математическое приложение
А. Интеграл вероятности
Вычислим вначале интеграл Пуассона
P =
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx.
Возведем его в квадрат и преобразуем к двойному интегралу:
P
2
=
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx
2
=
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx
Z
+∞
−∞
e
−y
2
dy =
=
Z
+∞
−∞
Z
e
−x
2
−y
2
dx dy.
Если последний интеграл рассматривать в декартовых координатах, то
заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ его можно
привести к полярным координатам:
P
2
=
Z
2π
0
dϕ
| {z }
2π
Z
∞
0
e
−r
2
r dr = π
Z
∞
0
e
−t
dt
| {z }
1
= π.
Таким образом,
P =
Z
+∞
−∞
e
−x
2
dx =
√
π. (А.1)
Из (А.1) следует, что
P (α) =
Z
+∞
−∞
e
−αx
2
dx =
r
π
α
. (А.2)
n-кратное дифференцирование (А.2) по параметру α приводит к сле-
дующему результату:
Z
+∞
−∞
x
2n
e
−x
2
dx =
−
∂
∂α
n
P (α)
α=1
=
(2n − 1)!!
2
n
√
π. (А.3)
                                                          61




Математическое приложение


А.       Интеграл вероятности
     Вычислим вначале интеграл Пуассона
                             Z +∞
                                     2
                         P =      e−x dx.
                                                     −∞

Возведем его в квадрат и преобразуем к двойному интегралу:
          Z   +∞                  2       Z   +∞                  Z   +∞
     2                  −x2                              −x2                       2
  P =               e         dx        =            e         dx             e−y dy =
               −∞                             −∞                        −∞
                                                                                   Z     +∞Z
                                                                                                     2
                                                                                                         −y 2
                                                                              =                e−x              dx dy.
                                                                                       −∞

Если последний интеграл рассматривать в декартовых координатах, то
заменой переменных x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, dx dy = r dr dϕ его можно
привести к полярным координатам:
                 Z 2π     Z ∞              Z ∞
                                 2
            P2 =       dϕ     e−r r dr = π      e−t dt = π.
                 | 0 {z } 0                | 0 {z }
                               2π                                                  1

Таким образом,
                                                Z   +∞
                                                               2             √
                                        P =              e−x dx =             π.                                   (А.1)
                                                    −∞

     Из (А.1) следует, что
                                                Z   +∞
                                                                              r
                                                                    2              π
                               P (α) =                    e−αx dx =                  .                             (А.2)
                                                    −∞                             α
n-кратное дифференцирование (А.2) по параметру α приводит к сле-
дующему результату:
     Z +∞                   n
                  2        ∂                (2n − 1)!! √
           x2n e−x dx = −       P (α)     =      n
                                                        π. (А.3)
      −∞                  ∂α          α=1      2

Страницы