Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

62
x
y
z
0
A
B
C
D
Re c
Рис. 5.1.
Рис. 5.2.
Приведем здесь главные свойства интеграла Пуассона (А.1).
1. При параллельном смещении пути интегрирования в комплекс-
ную плоскость его значение не изменяется:
Z
+∞+ic
−∞+ic
e
−z
2
dz =
√
π, (А.4)
где c = const.
Для доказательства (А.4) следует выбрать контур интегрирования
функции e
−z
2
в соответствии с рис. 5.1 и устремить отрезки DA и BC
к бесконечности.
2. При произвольном повороте пути интегрирования в комплекс-
ной плоскости его значение не изменяется:
Z
+∞
−∞
e
−[xe
iα
]
2
dx =
√
π, (А.5)
где α = const, −
π
4
< α <
π
4
.
Для доказательства (А.5) можно вновь воспользоваться контуром
интегрирования из рис. 5.1, но отрезок AB должен теперь проходить
через начало координат под углом α к вещественной оси (рис. 5.2).
                                   62


                                       y                        z
                     A                                      B

                                               Re c

                      D                0                    C       x

                                Рис. 5.1.




                                Рис. 5.2.


   Приведем здесь главные свойства интеграла Пуассона (А.1).
   1. При параллельном смещении пути интегрирования в комплекс-
ную плоскость его значение не изменяется:
                      Z   +∞+ic
                                           2          √
                                  e−z dz =             π,               (А.4)
                          −∞+ic

где c = const.
   Для доказательства (А.4) следует выбрать контур интегрирования
             2
функции e−z в соответствии с рис. 5.1 и устремить отрезки DA и BC
к бесконечности.
   2. При произвольном повороте пути интегрирования в комплекс-
ной плоскости его значение не изменяется:
                      Z   +∞
                                       iα 2           √
                               e−[xe       ]
                                               dx =    π,               (А.5)
                          −∞

где α = const, − π4 < α < π4 .
   Для доказательства (А.5) можно вновь воспользоваться контуром
интегрирования из рис. 5.1, но отрезок AB должен теперь проходить
через начало координат под углом α к вещественной оси (рис. 5.2).

Страницы