Задачи по квантовой механике Ч.1. Копытин И.В - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

63
Интеграл Пуассона (А.1) является частным случаем так называемой
функции ошибок:
erf x =
2
√
π
Z
x
0
e
−z
2
dz. (А.6)
Ее значения табулированы. Легко показать, что erf ∞ = 1. Также ис-
пользуется функция
erfc x =
2
√
π
Z
∞
x
e
−z
2
dz = 1 − erf x. (А.7)
Б. Гамма-функция и связанные с ней интегралы
Гамма-функция часто определяется интегралом, зависящим от па-
раметра:
Γ(z) =
Z
∞
0
t
z−1
e
−t
dt. (Б.8)
Она табулирована и обладает следующими основными свойствами:
Во-первых,
Γ(z + 1) = zΓ(z). (Б.9)
Во-вторых, при целых отрицательных z и в нуле она имеет простые
полюсы.
В-третьих, непосредственное вычисление Γ(1) = 1 вместе с исполь-
зованием формулы (Б.9) дает:
Γ(n) = (n −1)! (Б.10)
Некоторые важные интегралы можно свести к Γ-функции. Так, на-
пример, для интеграла Пуассона имеем:
Z
+∞
−∞
e
−z
2
dz = 2 Γ
1
2
.
Другой интеграл, важный в теории атома водорода, получается из
(Б.10):
Z
∞
0
t
n
e
−t
dt = n! (Б.11)
Данная формула также может быть получена последовательным n-
кратным интегрированием по частям.
                                   63


   Интеграл Пуассона (А.1) является частным случаем так называемой
функции ошибок :
                                  Z x
                               2         2
                      erf x = √       e−z dz.                 (А.6)
                                π 0
Ее значения табулированы. Легко показать, что erf ∞ = 1. Также ис-
пользуется функция
                             Z ∞
                           2        2
                 erfc x = √      e−z dz = 1 − erf x.         (А.7)
                            π x

Б.   Гамма-функция и связанные с ней интегралы
   Гамма-функция часто определяется интегралом, зависящим от па-
раметра:                    Z ∞
                     Γ(z) =     tz−1 e−t dt.               (Б.8)
                               0
Она табулирована и обладает следующими основными свойствами:
  Во-первых,
                         Γ(z + 1) = zΓ(z).                (Б.9)
   Во-вторых, при целых отрицательных z и в нуле она имеет простые
полюсы.
   В-третьих, непосредственное вычисление Γ(1) = 1 вместе с исполь-
зованием формулы (Б.9) дает:

                          Γ(n) = (n − 1)!                    (Б.10)

   Некоторые важные интегралы можно свести к Γ-функции. Так, на-
пример, для интеграла Пуассона имеем:
                      Z +∞             
                            −z 2       1
                           e dz = 2 Γ     .
                       −∞              2

   Другой интеграл, важный в теории атома водорода, получается из
(Б.10):
                        Z ∞
                            tn e−t dt = n!                 (Б.11)
                          0

Данная формула также может быть получена последовательным n-
кратным интегрированием по частям.

Страницы