ВУЗ:
Составители:
63
Интеграл Пуассона (А.1) является частным случаем так называемой
функции ошибок:
erf x =
2
√
π
Z
x
0
e
−z
2
dz. (А.6)
Ее значения табулированы. Легко показать, что erf ∞ = 1. Также ис-
пользуется функция
erfc x =
2
√
π
Z
∞
x
e
−z
2
dz = 1 − erf x. (А.7)
Б. Гамма-функция и связанные с ней интегралы
Гамма-функция часто определяется интегралом, зависящим от па-
раметра:
Γ(z) =
Z
∞
0
t
z−1
e
−t
dt. (Б.8)
Она табулирована и обладает следующими основными свойствами:
Во-первых,
Γ(z + 1) = zΓ(z). (Б.9)
Во-вторых, при целых отрицательных z и в нуле она имеет простые
полюсы.
В-третьих, непосредственное вычисление Γ(1) = 1 вместе с исполь-
зованием формулы (Б.9) дает:
Γ(n) = (n −1)! (Б.10)
Некоторые важные интегралы можно свести к Γ-функции. Так, на-
пример, для интеграла Пуассона имеем:
Z
+∞
−∞
e
−z
2
dz = 2 Γ
1
2
.
Другой интеграл, важный в теории атома водорода, получается из
(Б.10):
Z
∞
0
t
n
e
−t
dt = n! (Б.11)
Данная формула также может быть получена последовательным n-
кратным интегрированием по частям.
63 Интеграл Пуассона (А.1) является частным случаем так называемой функции ошибок : Z x 2 2 erf x = √ e−z dz. (А.6) π 0 Ее значения табулированы. Легко показать, что erf ∞ = 1. Также ис- пользуется функция Z ∞ 2 2 erfc x = √ e−z dz = 1 − erf x. (А.7) π x Б. Гамма-функция и связанные с ней интегралы Гамма-функция часто определяется интегралом, зависящим от па- раметра: Z ∞ Γ(z) = tz−1 e−t dt. (Б.8) 0 Она табулирована и обладает следующими основными свойствами: Во-первых, Γ(z + 1) = zΓ(z). (Б.9) Во-вторых, при целых отрицательных z и в нуле она имеет простые полюсы. В-третьих, непосредственное вычисление Γ(1) = 1 вместе с исполь- зованием формулы (Б.9) дает: Γ(n) = (n − 1)! (Б.10) Некоторые важные интегралы можно свести к Γ-функции. Так, на- пример, для интеграла Пуассона имеем: Z +∞ −z 2 1 e dz = 2 Γ . −∞ 2 Другой интеграл, важный в теории атома водорода, получается из (Б.10): Z ∞ tn e−t dt = n! (Б.11) 0 Данная формула также может быть получена последовательным n- кратным интегрированием по частям.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »