Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

D = D
0
exp
(
−
2
}
Z
b
a
|p(x)|dx
)
. (1.16)
Конкретное выражение для мно-
Рис. 1.4.
жителя D
0
зависит от вида потен-
циальной энергии, характера точек
поворота и является медленно меня-
ющейся функцией энергии E. Экс-
поненциальный же множитель, на-
оборот, является быстро меняющей-
ся функцией энергии, и во всех за-
дачах данного раздела требуется рас-
считать именно его. Условие примени-
мости ВКБ-приближения (1.6) требу-
ет подбарьерного значения энергии частиц (E < U
0
) и достаточно боль-
шой ширины барьера. В этом случае коэффициент прохождения будет
мал (D 1).
Пример 1.5. Найти в квазиклассическом приближении (с точно-
стью до экспоненциального множителя) коэффициент прохождения
частиц с массой µ и энергией E через потенциальный барьер U(x) =
= U
0
e
−|x|/x
0
, где U
0
> 0 и x
0
> 0 — параметры.
Решение. Вычислим интеграл в показателе экспоненты в формуле для
коэффициента прохождения (1.16). С учетом четности подынтеграль-
ной функции и кусочно-гладкого поведения потенциала получаем:
J ≡
Z
b
a
|p(x)|dx = 2
p
2µE
Z
b
0
r
U
0
E
e
−x/x
0
− 1 dx,
где a и b — точки поворота; b = x
0
ln
U
0
E
, a = −b. Интеграл вычисляется
посредством замены переменной:
r
U
0
E
e
−x/x
0
− 1 = y, dx = −
2yx
0
y
2
+ 1
dy;
J = 4x
0
p
2µE
Z
q
U
0
E
−1
0
y
2
dy
y
2
+ 1
= 4x
0
p
2µE
Z
q
U
0
E
−1
0
1 −
1
1 + y
2
dy =
= 4x
0
p
2µE
r
U
0
E
− 1 − arctg
r
U
0
E
− 1
!
.
13
                                             (        Z                   )
                                                              b
                                       2
                          D = D0 exp −                            |p(x)| dx .   (1.16)
                                       }                  a

    Конкретное выражение для мно-
жителя D0 зависит от вида потен-
циальной энергии, характера точек
поворота и является медленно меня-
ющейся функцией энергии E. Экс-
поненциальный же множитель, на-
оборот, является быстро меняющей-
ся функцией энергии, и во всех за-
дачах данного раздела требуется рас-
считать именно его. Условие примени-
мости ВКБ-приближения (1.6) требу-               Рис. 1.4.
ет подбарьерного значения энергии частиц (E < U0 ) и достаточно боль-
шой ширины барьера. В этом случае коэффициент прохождения будет
мал (D  1).
Пример 1.5. Найти в квазиклассическом приближении (с точно-
стью до экспоненциального множителя) коэффициент прохождения
частиц с массой µ и энергией E через потенциальный барьер U (x) =
= U0 e−|x|/x0 , где U0 > 0 и x0 > 0 — параметры.
Решение. Вычислим интеграл в показателе экспоненты в формуле для
коэффициента прохождения (1.16). С учетом четности подынтеграль-
ной функции и кусочно-гладкого поведения потенциала получаем:
             Z b                   Z br
                              p         U0 −x/x0
          J≡     |p(x)| dx = 2 2µE         e     − 1 dx,
               a                    0   E
                                      U0
где a и b — точки поворота; b = x0 ln    , a = −b. Интеграл вычисляется
                                      E
посредством замены переменной:
               r
                 U0 −x/x0                         2yx0
                    e      − 1 = y,      dx = − 2      dy;
                  E                              y +1

                          q                                               q
                      Z       U0                             U0      Z        
                                   −1    2                   E −1
            p                 E         y dy        p                     1
  J = 4x0       2µE                            = 4x0 2µE            1−           dy =
                      0                 y2 + 1            0             1 + y2
                                                     r                r        !
                                               p       U0               U0
                                        = 4x0 2µE         − 1 − arctg      −1 .
                                                       E                E


                                                 13

Страницы