Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

для основного состояния одномерной системы пробная функция внутри
потенциальной ямы не должна обращаться в нуль. Если гамильтониан
не меняется при операции инверсии, пробную функцию основного со-
стояния следует выбирать четной. В случае удачного выбора хорошие
результаты для энергии получаются уже при использовании одного па-
раметра.
Пробная функция первого возбужденного состояния Ψ
1
(ξ; α, β, . . .)
должна один раз обратиться в нуль. Вычисление энергии первого воз-
бужденного состояния сводится к решению вариационной задачи
E
1
= min
R
Ψ
∗
1
ˆ
HΨ
1
dξ
R
|Ψ
1
|
2
dξ
при дополнительном условии
R
Ψ
∗
1
Ψ
0
dξ = 0, где Ψ
0
— известная вол-
новая функция основного состояния.
Аналогичным образом вычисляется энергия n-го возбужденного со-
стояния. Соответствующая пробная функция с помощью дополнитель-
ных условий подбирается ортогональной к волновым функциям более
низких по энергии состояний: Ψ
0
, Ψ
1
, . . . , Ψ
n−1
.
Заметим, что точные значения энергии E
(0)
n
и полученные вариаци-
онным методом E
n
удовлетворяют неравенству
E
(0)
n
6 E
n
. (3.2)
Волновые функции, найденные вариационным методом, не обязаны
быть собственными функциями гамильтониана
ˆ
H. Они являются тако-
выми лишь при определенном выборе параметризации пробных функ-
ций, позволяющем подбором параметров привести их к точным волно-
вым функциям стационарных состояний. В этом случае (3.2) превра-
щается в строгое равенство.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение ва-
риационного метода к вычислению собственных значений и собствен-
ных функций гамильтониана некоторых систем. Предлагаем читателю
проделать все промежуточные выкладки самостоятельно.
Пример 3.1. Вычислить вариационным методом энергию основного
состояния линейного гармонического осциллятора с массой µ и часто-
той ω. Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x, α) = A exp
−
1
2
αx
2
,
где A = const, α > 0 — вариационный параметр.
Решение. При выборе пробной функции учтено, что Ψ(±∞, α) = 0.
Также принято во внимание отсутствие узлов у волновой функции ос-
новного состояния и ее четность. Энергетический функционал (3.1) вы-
числяется с гамильтонианом
36
для основного состояния одномерной системы пробная функция внутри
потенциальной ямы не должна обращаться в нуль. Если гамильтониан
не меняется при операции инверсии, пробную функцию основного со-
стояния следует выбирать четной. В случае удачного выбора хорошие
результаты для энергии получаются уже при использовании одного па-
раметра.
   Пробная функция первого возбужденного состояния Ψ1 (ξ; α, β, . . .)
должна один раз обратиться в нуль. Вычисление энергии первого воз-
бужденного состояния сводится к решению вариационной задачи
                                  R ∗
                                   Ψ ĤΨ1 dξ
                       E1 = min R 1 2
                                     |Ψ1 | dξ
                             R
при дополнительном условии Ψ∗1 Ψ0 dξ = 0, где Ψ0 — известная вол-
новая функция основного состояния.
   Аналогичным образом вычисляется энергия n-го возбужденного со-
стояния. Соответствующая пробная функция с помощью дополнитель-
ных условий подбирается ортогональной к волновым функциям более
низких по энергии состояний: Ψ0 , Ψ1 , . . . , Ψn−1 .
                                                (0)
   Заметим, что точные значения энергии En и полученные вариаци-
онным методом En удовлетворяют неравенству
                             En(0) 6 En .                        (3.2)
Волновые функции, найденные вариационным методом, не обязаны
быть собственными функциями гамильтониана Ĥ. Они являются тако-
выми лишь при определенном выборе параметризации пробных функ-
ций, позволяющем подбором параметров привести их к точным волно-
вым функциям стационарных состояний. В этом случае (3.2) превра-
щается в строгое равенство.
   Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение ва-
риационного метода к вычислению собственных значений и собствен-
ных функций гамильтониана некоторых систем. Предлагаем читателю
проделать все промежуточные выкладки самостоятельно.
Пример 3.1. Вычислить вариационным методом энергию основного
состояния линейного гармонического осциллятора с массой µ и часто-
                                                                 
                                                            1 2
той ω. Пробную функцию выбрать в виде Ψ(x, α) = A exp − αx ,
                                                            2
где A = const, α > 0 — вариационный параметр.
Решение. При выборе пробной функции учтено, что Ψ(±∞, α) = 0.
Также принято во внимание отсутствие узлов у волновой функции ос-
новного состояния и ее четность. Энергетический функционал (3.1) вы-
числяется с гамильтонианом


                                 36

Страницы