Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 3.
Применение вариационного метода к
приближенным расчетам
В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных со-
стояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариаци-
онного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных
значений оператора Гамильтона
ˆ
H не использует теорию возмущений
и соответственно не требует наличия в задаче малых параметров.
При расчетах энергии основного состояния вначале аналитически
выбирается «пробная функция» Ψ
0
(ξ; α, β, . . .), содержащая некоторое
число неизвестных параметров α, β, . . . После вычисления энергетиче-
ского функционала
J(α, β, . . .) =
R
Ψ
∗
0
(ξ; α, β, . . .)
ˆ
HΨ
0
(ξ; α, β, . . .) dξ
R
|Ψ
0
(ξ; α, β, . . .)|
2
dξ
(3.1)
получают выражение J(α, β, . . .), зависящее от этих параметров. Оно
имеет смысл средней энергии системы в состоянии, задаваемом «проб-
ной функцией» Ψ
0
(ξ; α, β, . . .). Определение искомых значений пара-
метров сводится к минимизации J(α, β, . . .), т. е. к решению системы
уравнений
∂J
∂α
=
∂J
∂β
= . . . = 0.
При удачном выборе пробной функции получаемое значение энер-
гии
E
0
= J(α
0
, β
0
, . . .)
будет близко к истинному значению E
(0)
0
даже при сравнительно ма-
лом числе использованных параметров. Ненормированная волновая
функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с
функцией Ψ
0
(ξ; α
0
, β
0
, . . .).
Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния но-
сит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Вы-
бор пробных функций базируется на качественном анализе решений с
учетом симметрии задачи. Пробная функция прежде всего должна удо-
влетворять стандартным условиям и в случае финитного движения об-
ращаться в нуль на бесконечности. Согласно осцилляционной теореме
35
Глава 3.

Применение вариационного метода к
приближенным расчетам

   В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных со-
стояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариаци-
онного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных
значений оператора Гамильтона Ĥ не использует теорию возмущений
и соответственно не требует наличия в задаче малых параметров.
   При расчетах энергии основного состояния вначале аналитически
выбирается «пробная функция» Ψ0 (ξ; α, β, . . .), содержащая некоторое
число неизвестных параметров α, β, . . . После вычисления энергетиче-
ского функционала
                            R ∗
                             Ψ0 (ξ; α, β, . . .)ĤΨ0 (ξ; α, β, . . .) dξ
           J(α, β, . . .) =        R                                     (3.1)
                                     |Ψ0 (ξ; α, β, . . .)|2 dξ
получают выражение J(α, β, . . .), зависящее от этих параметров. Оно
имеет смысл средней энергии системы в состоянии, задаваемом «проб-
ной функцией» Ψ0 (ξ; α, β, . . .). Определение искомых значений пара-
метров сводится к минимизации J(α, β, . . .), т. е. к решению системы
уравнений
                         ∂J        ∂J
                                =     = . . . = 0.
                         ∂α        ∂β
   При удачном выборе пробной функции получаемое значение энер-
гии
                          E0 = J(α0 , β0 , . . .)
                                           (0)
будет близко к истинному значению E0 даже при сравнительно ма-
лом числе использованных параметров. Ненормированная волновая
функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с
функцией Ψ0 (ξ; α0 , β0 , . . .).
   Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния но-
сит название прямого вариационного метода, или метода Ритца. Вы-
бор пробных функций базируется на качественном анализе решений с
учетом симметрии задачи. Пробная функция прежде всего должна удо-
влетворять стандартным условиям и в случае финитного движения об-
ращаться в нуль на бесконечности. Согласно осцилляционной теореме


                                     35

Страницы