Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

(E
(0)
2
− E)
2
[(E
(0)
2
− E)
2
− 9a
2
0
e
2
E
2
] = 0.
Его решения E
1,2
= E
(0)
2
± 3a
0
eE/Z; E
3,4
= E
(0)
2
. Таким образом, вы-
рождение снимается частично.
2 способ.
В водородоподобном ионе вырождение по магнитному квантовому
числу m обусловлено тем, что L
2
и L
z
являются интегралами дви-
жения, «случайное» вырождение по орбитальному квантовому числу l
объясняется спецификой кулоновского потенциала.
При наложении возмущения (2.46) L
2
перестает быть интегралом
движения, а величина L
z
по-прежнему сохраняется по причине осевой
симметрии
ˆ
V . Поэтому секулярное уравнение можно упростить, сделав
его зависящим от m как от параметра.
При заданных m и n орбитальное квантовое число l принимает
значения |m|, |m| + 1, . . . , n − 1. В нашем случае n = 2, т. е. l =
= |m|, |m| + 1, . . . 1.
Рассмотрим случай m = ±1. Единственным допустимым значением
квантового числа l является 1, т. е. имеется всего один p-подуровень с
m = ±1, и можно пользоваться теорией возмущений для невырожден-
ных состояний. Поскольку оператор (2.46) нечетный, поправка первого
порядка к энергии равна нулю, и подуровень, соответствующий n = 2,
l = 1, m = ±1, не расщепляется, т. е. E
3
= E
4
= E
(0)
2
, а вырождение по
m остается.
Рассмотрим случай m = 0. Орбитальное квантовое число может те-
перь принимать два значения l = 0, 1. Таким образом, при m = 0 име-
ются совпадающие s- и p-подуровни. В этом случае секулярное уравне-
ние примет вид
E
(0)
2
− E −3a
0
eE/Z
−3a
0
eE/Z E
(0)
2
− E
= 0, (2.48)
корни которого E
1,2
= E
(0)
2
± 3a
0
eE/Z.
По своей структуре уравнение (2.48) проще (2.47).
Таким образом, кулоновский уровень первого возбужденного состо-
яния в слабом однородном электрическом поле расщепляется на 3 ком-
поненты:
одна компонента, соответствующая 2p-состоянию с m = ±1, не сме-
щается (остается 2-кратное вырождение по m);
две другие компоненты, соответствующие 2s- и 2p-состоянию с
m = 0, смещаются на ±3a
0
eE/Z. Величина расщепления δ = 6a
0
|e|E/Z
пропорциональна E, т. е. эффект Штарка линеен.
33
                  (0)           (0)
                (E2 − E)2 [(E2 − E)2 − 9a20 e2 E 2 ] = 0.
                        (0)                     (0)
Его решения E1,2 = E2 ± 3a0 eE/Z; E3,4 = E2 . Таким образом, вы-
рождение снимается частично.
   2 способ.
   В водородоподобном ионе вырождение по магнитному квантовому
числу m обусловлено тем, что L2 и Lz являются интегралами дви-
жения, «случайное» вырождение по орбитальному квантовому числу l
объясняется спецификой кулоновского потенциала.
   При наложении возмущения (2.46) L2 перестает быть интегралом
движения, а величина Lz по-прежнему сохраняется по причине осевой
симметрии V̂ . Поэтому секулярное уравнение можно упростить, сделав
его зависящим от m как от параметра.
   При заданных m и n орбитальное квантовое число l принимает
значения |m|, |m| + 1, . . . , n − 1. В нашем случае n = 2, т. е. l =
= |m|, |m| + 1, . . . 1.
   Рассмотрим случай m = ±1. Единственным допустимым значением
квантового числа l является 1, т. е. имеется всего один p-подуровень с
m = ±1, и можно пользоваться теорией возмущений для невырожден-
ных состояний. Поскольку оператор (2.46) нечетный, поправка первого
порядка к энергии равна нулю, и подуровень, соответствующий n = 2,
                                                    (0)
l = 1, m = ±1, не расщепляется, т. е. E3 = E4 = E2 , а вырождение по
m остается.
   Рассмотрим случай m = 0. Орбитальное квантовое число может те-
перь принимать два значения l = 0, 1. Таким образом, при m = 0 име-
ются совпадающие s- и p-подуровни. В этом случае секулярное уравне-
ние примет вид
                           (0)
                         E2 − E −3a0 eE/Z
                                        (0)
                                               = 0,             (2.48)
                         −3a0 eE/Z E2 − E
                          (0)
корни которого E1,2 = E2 ± 3a0 eE/Z.
   По своей структуре уравнение (2.48) проще (2.47).
   Таким образом, кулоновский уровень первого возбужденного состо-
яния в слабом однородном электрическом поле расщепляется на 3 ком-
поненты:
   одна компонента, соответствующая 2p-состоянию с m = ±1, не сме-
щается (остается 2-кратное вырождение по m);
   две другие компоненты, соответствующие 2s- и 2p-состоянию с
m = 0, смещаются на ±3a0 eE/Z. Величина расщепления δ = 6a0 |e|E/Z
пропорциональна E, т. е. эффект Штарка линеен.



                                      33

Страницы