Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

«невозмущенные» состояния вносят одинаковый вклад в формирование
«возмущенных» уровней.
Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что
теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том
случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элемен-
ты доминируют над диагональными и по величине существенно превы-
шают межуровневые расстояния.
Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить
расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородо-
подобного иона в однородном электрическом поле напряженности E.
Заряд ядра Z, масса электрона µ
e
.
Решение.
1 способ.
Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n
вырожден с кратностью n
2
. Поэтому первому возбужденному уровню
(n = 2) соответствуют 4 состояния:
Ψ
200
(r) = R
20
(r)Y
0 0
(θ, ϕ) ≡ Ψ
1
(r);
Ψ
210
(r) = R
21
(r)Y
1 0
(θ, ϕ) ≡ Ψ
2
(r);
Ψ
211
(r) = R
21
(r)Y
1 1
(θ, ϕ) ≡ Ψ
3
(r);
Ψ
21−1
(r) = R
21
(r)Y
1 −1
(θ, ϕ) ≡ Ψ
4
(r).
(2.45)
Первое является 2s-состоянием, остальные — 2p.
Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим
полем будем рассматривать в качестве возмущения:
ˆ
V = −eEz (2.46)
(ось Oz направлена вдоль E; предполагается e < 0).
Пользуясь результатами примера 3.10 ч. 2, вычисляем матричные
элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное
уравнение:
E
(0)
2
− E −3a
0
eE/Z 0 0
−3a
0
eE/Z E
(0)
2
− E 0 0
0 0 E
(0)
2
− E 0
0 0 0 E
(0)
2
− E
= 0, (2.47)
где E
(0)
2
= −
1
8
Z
2
E
a
— энергия первого возбужденного состояния в от-
сутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-
нение 4-го порядка относительно E:
32
«невозмущенные» состояния вносят одинаковый вклад в формирование
«возмущенных» уровней.
   Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что
теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том
случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элемен-
ты доминируют над диагональными и по величине существенно превы-
шают межуровневые расстояния.                                   

Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить
расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородо-
подобного иона в однородном электрическом поле напряженности E.
Заряд ядра Z, масса электрона µe .
Решение.
   1 способ.
   Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n
вырожден с кратностью n2 . Поэтому первому возбужденному уровню
(n = 2) соответствуют 4 состояния:
                   Ψ200 (r) = R20 (r)Y0 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ1 (r);
                   Ψ210 (r) = R21 (r)Y1 0 (θ, ϕ) ≡ Ψ2 (r);
                                                                    (2.45)
                   Ψ211 (r) = R21 (r)Y1 1 (θ, ϕ) ≡ Ψ3 (r);
                   Ψ21−1 (r) = R21 (r)Y1 −1 (θ, ϕ) ≡ Ψ4 (r).
Первое является 2s-состоянием, остальные — 2p.
   Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим
полем будем рассматривать в качестве возмущения:
                                    V̂ = −eEz                       (2.46)
(ось Oz направлена вдоль E; предполагается e < 0).
   Пользуясь результатами примера 3.10 ч. 2, вычисляем матричные
элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное
уравнение:
             (0)
           E2 − E      −3a0 eE/Z            0        0
                         (0)
           −3a0 eE/Z    E2     −E           0        0
                                       (0)
                                                             = 0,   (2.47)
               0            0         E2 − E         0
                                                   (0)
               0            0               0    E2 − E

     (0)     1
где E2  = − Z 2 Ea — энергия первого возбужденного состояния в от-
             8
сутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-
нение 4-го порядка относительно E:


                                       32

Страницы