Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

элементы которого по базису невозмущенных состояний известны.
Найти правильные волновые функции нулевого приближения.
Решение. Пусть невозмущенному уровню соответствует волновая функ-
ция Ψ
1
, а E
2
— Ψ
2
. Будем искать решение уравнения Шредингера при
наличии возмущения в виде
Ψ = c
1
Ψ
1
+ c
2
Ψ
2
. (2.40)
В энергетическом представлении уравнение Шредингера примет вид
(
(E
1
− E + V
11
)c
1
+ V
12
c
2
= 0,
V
21
c
1
+ (E
2
− E + V
22
)c
2
= 0.
(2.41)
(см. (2.37), а также задачу 21 ч. 2). Решение соответствующего секу-
лярного уравнения
E
1
− E + V
11
V
12
V
21
E
2
− E + V
22
= 0
дает 2 корня:
E
±
=
E
1
+ V
11
+ E
2
+ V
22
2
±
s
E
2
+ V
22
− E
1
− V
11
2
2
+ |V
12
|
2
. (2.42)
(Легко видеть, что при
ˆ
V → 0 E
+
→ E
2
, E
−
→ E
1
.)
При таких значениях E уравнения системы (2.41) становятся линей-
но независимыми и коэффициенты c
1,2
можно найти, решая, например,
только первое уравнение. Подставляя (2.42) в (2.41), имеем:
c
1±
=
2V
12
∆ + V
22
− V
11
± δ
c
2±
, (2.43)
где
δ = E
+
− E
−
=
p
(∆ + V
22
− V
11
)
2
+ 4|V
12
|
2
.
Вследствие однородности система (2.41) имеет бесконечное число ре-
шений. Нормируем их, исходя из (2.39), условием
|c
1±
|
2
+ |c
2±
|
2
= 1.
Из (2.43) получаем:
4|V
12
|
2
[δ ± (∆ + V
22
− V
11
)]
2
+ 1
|c
2±
|
2
= 1.
30
элементы которого по базису невозмущенных состояний известны.
Найти правильные волновые функции нулевого приближения.
Решение. Пусть невозмущенному уровню соответствует волновая функ-
ция Ψ1 , а E2 — Ψ2 . Будем искать решение уравнения Шредингера при
наличии возмущения в виде

                             Ψ = c 1 Ψ1 + c 2 Ψ2 .                            (2.40)

В энергетическом представлении уравнение Шредингера примет вид
                  (
                    (E1 − E + V11 )c1 + V12 c2 = 0,
                                                           (2.41)
                    V21 c1 + (E2 − E + V22 )c2 = 0.

(см. (2.37), а также задачу 21 ч. 2). Решение соответствующего секу-
лярного уравнения

                     E1 − E + V11             V12
                                                        =0
                          V21           E2 − E + V22

дает 2 корня:
                                 s                           2
      E1 + V11 + E2 + V22              E2 + V22 − E1 − V11
 E± =                     ±                                        + |V12 |2 . (2.42)
               2                                2

(Легко видеть, что при V̂ → 0 E+ → E2 , E− → E1 .)
   При таких значениях E уравнения системы (2.41) становятся линей-
но независимыми и коэффициенты c1,2 можно найти, решая, например,
только первое уравнение. Подставляя (2.42) в (2.41), имеем:

                                      2V12
                       c1± =                      c2± ,                       (2.43)
                                ∆ + V22 − V11 ± δ
где                              p
                δ = E + − E− =       (∆ + V22 − V11 )2 + 4|V12 |2 .
Вследствие однородности система (2.41) имеет бесконечное число ре-
шений. Нормируем их, исходя из (2.39), условием

                            |c1± |2 + |c2± |2 = 1.

Из (2.43) получаем:
                                              
                           4|V12 |2
                                          2
                                            + 1 |c2± |2 = 1.
                   [δ ± (∆ + V22 − V11 )]

                                        30

Страницы