Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Коэффициенты разложения в (2.34) неизвестны и подлежат определе-
нию.
Для решения уравнения Шредингера
(
ˆ
H
0
+
ˆ
V )Ψ
(0)
= EΨ
(0)
подставляем вместо Ψ
(0)
разложение (2.34), затем домножаем получив-
шееся уравнение на Ψ
(0)∗
k
и интегрируем по всему конфигурационному
пространству. Тогда с учетом (2.35) и (2.36) имеем:
f
X
m=1
[(E
(0)
m
− E)δ
km
+ V
km
]c
m
= 0; k = 1, 2, . . . , f, (2.37)
где V
km
=
R
Ψ
(0)∗
k
(ξ)
ˆ
V Ψ
(0)∗
m
(ξ) dξ. Полученные уравнения представля-
ют собой систему f линейных однородных алгебраических уравнений
с f неизвестными — коэффициентами c
m
. Легко видеть, что упорядо-
ченный набор c
m
является волновой функцией, а (2.37) — уравнением
Шредингера в энергетическом представлении по базису невозмущен-
ных волновых функций близких уровней. Условие нетривиальной раз-
решимости (2.37), т. е. когда c
m
6= 0 одновременно, — равенство нулю
детерминанта
det k(E
(0)
m
− E)δ
km
+ V
km
k = 0. (2.38)
Это характеристическое уравнение матрицы (
ˆ
H
(0)
+
ˆ
V )
km
, называемое
секулярным, определяет энергию в первом порядке по возмущению.
Левая часть (2.38) — многочлен степени f относительно E. В общем
случае уравнение (2.38) имеет f корней (среди которых могут быть и
кратные).
Если в невозмущенной задаче уровень E
(0)
f-кратно вырожден, а
уравнение (2.38) имеет f различных корней, то говорят, что возмущение
ˆ
V полностью снимает вырождение. Если среди корней (2.38) встреча-
ются кратные, то вырождение снимается частично. Характер снятия
вырождения определяется симметрией оператора
ˆ
V .
Для каждого корня (2.38) существует нетривиальное решение систе-
мы (2.37) — набор коэффициентов c
m
. Если их нормировать условием
f
X
m=1
|c
m
|
2
= 1 (2.39)
и подставить в (2.34), то для значения E мы получим так называемые
правильные функции нулевого приближения.
Пример 2.5. Определить изменение двух близких уровней энергии
E
1
и E
2
= E
1
+ ∆ (∆ > 0) под действием возмущения
ˆ
V , матричные
29
Коэффициенты разложения в (2.34) неизвестны и подлежат определе-
нию.
   Для решения уравнения Шредингера
                          (Ĥ0 + V̂ )Ψ(0) = EΨ(0)
подставляем вместо Ψ(0) разложение (2.34), затем домножаем получив-
                     (0)∗
шееся уравнение на Ψk и интегрируем по всему конфигурационному
пространству. Тогда с учетом (2.35) и (2.36) имеем:
       f
       X
                (0)
             [(Em   − E)δkm + Vkm ]cm = 0;        k = 1, 2, . . . , f,   (2.37)
       m=1
           R (0)∗        (0)∗
где Vkm = Ψk (ξ)V̂ Ψm (ξ) dξ. Полученные уравнения представля-
ют собой систему f линейных однородных алгебраических уравнений
с f неизвестными — коэффициентами cm . Легко видеть, что упорядо-
ченный набор cm является волновой функцией, а (2.37) — уравнением
Шредингера в энергетическом представлении по базису невозмущен-
ных волновых функций близких уровней. Условие нетривиальной раз-
решимости (2.37), т. е. когда cm 6= 0 одновременно, — равенство нулю
детерминанта
                             (0)
                    det k(Em     − E)δkm + Vkm k = 0.          (2.38)
Это характеристическое уравнение матрицы (Ĥ (0) + V̂ )km , называемое
секулярным, определяет энергию в первом порядке по возмущению.
Левая часть (2.38) — многочлен степени f относительно E. В общем
случае уравнение (2.38) имеет f корней (среди которых могут быть и
кратные).
    Если в невозмущенной задаче уровень E (0) f -кратно вырожден, а
уравнение (2.38) имеет f различных корней, то говорят, что возмущение
V̂ полностью снимает вырождение. Если среди корней (2.38) встреча-
ются кратные, то вырождение снимается частично. Характер снятия
вырождения определяется симметрией оператора V̂ .
    Для каждого корня (2.38) существует нетривиальное решение систе-
мы (2.37) — набор коэффициентов cm . Если их нормировать условием
                               f
                               X
                                     |cm |2 = 1                          (2.39)
                               m=1

и подставить в (2.34), то для значения E мы получим так называемые
правильные функции нулевого приближения.
Пример 2.5. Определить изменение двух близких уровней энергии
E1 и E2 = E1 + ∆ (∆ > 0) под действием возмущения V̂ , матричные


                                      29

Страницы