Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

(Указание: при n max(1, l) волновая функция имеет вид
Ψ
nlm
(r) ≈
1
a
0
r
2Z
2
n
3
r
J
2l+1
r
8Zr
a
0
!
Y
lm
(θ, ϕ).)
17. Стационарное состояние частицы с массой µ и зарядом e в цен-
тральном поле описывается невозмущенной волновой функцией
Ψ
(0)
nlm
(r) = R
nl
(r)Y
lm
(θ, ϕ).
В первом порядке теории возмущений определить расщепление энерге-
тических уровней под действием постоянного магнитного поля B.
(Ответ: E
nlm
= E
(0)
nl
−
e}B
2µc
m; ∆E =
e}B
2µc
; ось Oz направлена
вдоль B.)
2.2. Теория возмущений для близких уровней и при
наличии вырождения
Если в дискретном спектре имеются уровни, которые для задан-
ного оператора
ˆ
V не удовлетворяют условию (2.9), то знаменатели в
суммах (2.7) и (2.8) становятся большими и необходимое условие схо-
димости рядов ТВ нарушается. Примером может служить f-кратно
вырожденный уровень, при наличии которого соответствующие знаме-
натели в (2.7) и (2.8) обращаются в нуль. Чтобы избежать возникающих
трудностей, волновая функция уже в нулевом приближении ищется в
виде линейной комбинации невозмущенных волновых функций, соот-
ветствующих данному вырожденному состоянию (или системе близких
уровней):
Ψ
(0)
=
f
X
m=1
c
m
Ψ
(0)
m
, (2.34)
где f — кратность вырождения (число близких уровней); эти уровни
нумеруются индексом m; Ψ
(0)
m
— волновые функции, соответствующие
невозмущенным уровням E
(0)
m
и удовлетворяющие уравнению Шредин-
гера
ˆ
H
0
Ψ
(0)
m
= E
(0)
m
Ψ
(0)
m
. (2.35)
Если Ψ
(0)
m
соответствует вырожденному уровню, то E
(0)
1
= . . . = E
(0)
m
=
E
(0)
. В этом случае функции Ψ
(0)
m
будем считать по-прежнему ортонор-
мированными (их всегда можно ортогонализовать):
Z
Ψ
(0)∗
k
(ξ)Ψ
(0)
m
(ξ) dξ = δ
km
. (2.36)
28
(Указание: приr n  max(1,rl) волновая
                                 !      функция имеет вид
           1 2Z 2            8Zr
Ψnlm (r) ≈          J 2l+1         Ylm (θ, ϕ).)
           a 0 n3 r           a0
17. Стационарное состояние частицы с массой µ и зарядом e в цен-
тральном поле описывается невозмущенной волновой функцией
                       (0)
                      Ψnlm (r) = Rnl (r)Ylm (θ, ϕ).

В первом порядке теории возмущений определить расщепление энерге-
тических уровней под действием постоянного магнитного поля B.
                  (0)  e}B            e}B
(Ответ: Enlm = Enl −       m; ∆E =         ;    ось Oz направлена
                       2µc             2µc
вдоль B.)

2.2.   Теория возмущений для близких уровней и при
       наличии вырождения
   Если в дискретном спектре имеются уровни, которые для задан-
ного оператора V̂ не удовлетворяют условию (2.9), то знаменатели в
суммах (2.7) и (2.8) становятся большими и необходимое условие схо-
димости рядов ТВ нарушается. Примером может служить f -кратно
вырожденный уровень, при наличии которого соответствующие знаме-
натели в (2.7) и (2.8) обращаются в нуль. Чтобы избежать возникающих
трудностей, волновая функция уже в нулевом приближении ищется в
виде линейной комбинации невозмущенных волновых функций, соот-
ветствующих данному вырожденному состоянию (или системе близких
уровней):
                                    f
                                  X
                             (0)
                            Ψ =       cm Ψ(0)
                                           m ,                  (2.34)
                                  m=1

где f — кратность вырождения (число близких уровней); эти уровни
                         (0)
нумеруются индексом m; Ψm — волновые функции, соответствующие
                        (0)
невозмущенным уровням Em и удовлетворяющие уравнению Шредин-
гера
                       Ĥ0 Ψ(0)    (0) (0)
                             m = E m Ψm .                  (2.35)
       (0)                                            (0)        (0)
Если Ψm соответствует вырожденному уровню, то E1 = . . . = Em =
                                (0)
E (0) . В этом случае функции Ψm будем считать по-прежнему ортонор-
мированными (их всегда можно ортогонализовать):
                        Z
                           (0)∗
                          Ψk (ξ)Ψ(0)m (ξ) dξ = δkm .          (2.36)


                                   28

Страницы