Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

При упрощении (2.31) воспользуемся (2.30), свойством нормированно-
сти функций |nlmi, а также эрмитовостью гамильтониана
ˆ
H
0
, след-
ствием которой будет равенство
hnlm|
ˆ
H
0
= hnlm|E
(0)
n
,
где E
(0)
n
— то же, что и в (2.30). После упрощения получаем:
E
(1)
nl
= −
1
2µ
e
c
2
[E
(0)2
n
+ 2Ze
2
E
(0)
n
hnlm|r
−1
|nlmi+
+ Z
2
e
4
hnlm|r
−2
|nlmi]. (2.32)
Первый матричный элемент в (2.32) может быть вычислен по теоре-
ме о вириале (ч. 2, задача 23): hnlm|r
−1
|nlmi =
Z
n
2
e
2
E
a
. Второй —
с использованием явного вида радиальных водородных функций (см.
Приложение). Приведем результат: hnlm|r
−2
|nlmi =
2Z
2
n
3
(2l + 1)
E
2
a
e
4
. В
конечном итоге получаем следующее выражение для поправки к энер-
гии:
E
(1)
nl
= α
2
e
Z
4
2n
3
E
a
3
4n
−
1
l +
1
2
. (2.33)
Условием применимости теории возмущений будет (α
e
Z)
2
1.
Как видно из (2.33), релятивистские поправки полностью снимают
кулоновское вырождение уровней — проявляется их «тонкая структу-
ра». Вырождение по магнитному квантовому числу остается.
Замечание. Мы не учитывали спин-орбитальное взаимодействие,
порядок величины которого такой же, как и у (2.33). По этой и неко-
торым другим причинам точное релятивистское решение задачи при
Z α
−1
e
не переходит в (2.33), и наш расчет носит лишь оценочный
характер.
Задачи для самостоятельного решения
11. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямо-
угольной потенциальной яме ширины a, найти в первом порядке теории
возмущений смещение энергетических уровней под действием возмуще-
ния вида (всюду 0 6 x 6 a):
а) V (x) =
V
0
a
(a − |2x − a|);
б) V (x) =
(
V
0
, b 6 x 6 a − b;
0, 0 < x < b, a − b < x < a.
26
При упрощении (2.31) воспользуемся (2.30), свойством нормированно-
сти функций |nlmi, а также эрмитовостью гамильтониана Ĥ0 , след-
ствием которой будет равенство
                           hnlm| Ĥ0 = hnlm| En(0) ,
      (0)
где En — то же, что и в (2.30). После упрощения получаем:

    (1)       1
  Enl = −         2
                    [En(0)2 + 2Ze2 En(0) hnlm| r−1 |nlmi +
            2µe c
                                              + Z 2 e4 hnlm| r−2 |nlmi].   (2.32)

Первый матричный элемент в (2.32) может быть вычислен по теоре-
                                                      Z
ме о вириале (ч. 2, задача 23): hnlm| r −1 |nlmi = 2 2 Ea . Второй —
                                                     n e
с использованием явного вида радиальных водородных функций (см.
                                            −2             2Z 2    Ea2
Приложение). Приведем результат: hnlm| r |nlmi = 3                     .В
                                                        n (2l + 1) e4
конечном итоге получаем следующее выражение для поправки к энер-
гии:                                            
                               4
                     (1)   2 Z        3       1
                   Enl = αe 3 Ea         −         .               (2.33)
                            2n       4n l + 21
Условием применимости теории возмущений будет (αe Z)2  1.
   Как видно из (2.33), релятивистские поправки полностью снимают
кулоновское вырождение уровней — проявляется их «тонкая структу-
ра». Вырождение по магнитному квантовому числу остается.
   Замечание. Мы не учитывали спин-орбитальное взаимодействие,
порядок величины которого такой же, как и у (2.33). По этой и неко-
торым другим причинам точное релятивистское решение задачи при
Z  α−1
      e   не переходит в (2.33), и наш расчет носит лишь оценочный
характер.                                                        


Задачи для самостоятельного решения

11. Для частицы с массой µ, находящейся в бесконечно глубокой прямо-
угольной потенциальной яме ширины a, найти в первом порядке теории
возмущений смещение энергетических уровней под действием возмуще-
ния вида (всюду 0 6 x 6 a):
              V0
   а) V (x) =    (a − |2x − a|);
              (a
                V0 , b 6 x 6 a − b;
   б) V (x) =
                 0,     0 < x < b,  a − b < x < a.

                                      26

Страницы