Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Разложим корень в (2.25) при малых импульсах (p µ
e
c) в ряд Тей-
лора с точностью до членов порядка p
4
:
p
p
2
c
2
+ µ
2
e
c
4
= µ
e
c
2
s
1 +
p
2
µ
2
e
c
2
' µ
e
c
2
(
1 +
1
2
p
2
µ
2
e
c
2
−
1
8
p
2
µ
2
e
c
2
2
)
.
(2.26)
Подставляя (2.26) в (2.25) и переходя от классических величин к их
операторам, мы получим гамильтониан электрона в кулоновском поле
с учетом релятивистских эффектов:
ˆ
H
rel
=
ˆ
p
2
2µ
e
−
Ze
2
r
−
1
8
(
ˆ
p
2
)
2
µ
3
e
c
2
=
ˆ
H
0
+
ˆ
V , (2.27)
где
ˆ
H
0
=
ˆ
p
2
2µ
e
−
Ze
2
r
(2.28)
— нерелятивистский гамильтониан электрона в кулоновском поле;
ˆ
V = −
(
ˆ
p
2
)
2
8µ
3
e
c
2
= −
1
2µ
e
c
2
ˆ
H
0
+
Ze
2
r
2
(2.29)
— релятивистская компонента взаимодействия, которая по причине ма-
лости (предполагается p µ
e
c) и будет рассматриваться в качестве
возмущения.
Решение невозмущенной задачи с гамильтонианом (2.28) в дискрет-
ном спектре известно:
ˆ
H
0
|nlmi = E
(0)
n
|nlmi, E
(0)
n
= −
Z
2
2n
2
E
a
, (2.30)
где |nlmi — волновая функция стационарного состояния, характеризу-
ющегося главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми чис-
лами. Каждое значение E
(0)
n
вырождено по l и m с кратностью n
2
. Опе-
ратор (2.29) не нарушает сферической симметрии задачи, поэтому L
2
и L
z
остаются интегралами движения, а значит, можно пользоваться
теорией возмущений для невырожденных уровней.
Вычислим поправку первого порядка к уровню E
(0)
n
:
E
(1)
nl
= hnlm|V |nlmi = −
1
2µ
e
c
2
hnlm|(
ˆ
H
0
+ Ze
2
/r)
2
|nlmi =
= −
1
2µ
e
c
2
hnlm|
ˆ
H
2
0
+ Ze
2
ˆ
H
0
r
−1
+ Ze
2
r
−1
ˆ
H
0
+ Z
2
e
4
r
−2
|nlmi. (2.31)
25
Разложим корень в (2.25) при малых импульсах (p  µe c) в ряд Тей-
лора с точностью до членов порядка p4 :
                          s               (                  2 2 )
                                 2                   2
  p                            p               1 p        1  p
    p2 c2 + µ2e c4 = µe c2 1 + 2 2 ' µe c2 1 +          −             .
                              µe c             2 µ2e c2   8 µ2e c2
                                                                   (2.26)
Подставляя (2.26) в (2.25) и переходя от классических величин к их
операторам, мы получим гамильтониан электрона в кулоновском поле
с учетом релятивистских эффектов:

                                 p̂2   Ze2   1 (p̂2 )2
                       Ĥrel   =     −     −           = Ĥ0 + V̂ ,               (2.27)
                                 2µe    r    8 µ3e c2
где
                                           p̂2   Ze2
                                     Ĥ0 =     −                                  (2.28)
                                           2µe    r
— нерелятивистский гамильтониан электрона в кулоновском поле;
                                                                  2
                              (p̂2 )2    1                   Ze2
                        V̂ = − 3 2 = −                 Ĥ0 +                      (2.29)
                              8µe c    2µe c2                 r

— релятивистская компонента взаимодействия, которая по причине ма-
лости (предполагается p  µe c) и будет рассматриваться в качестве
возмущения.
   Решение невозмущенной задачи с гамильтонианом (2.28) в дискрет-
ном спектре известно:

                                                                Z2
                     Ĥ0 |nlmi = En(0) |nlmi ,      En(0) = −       Ea ,          (2.30)
                                                                2n2
где |nlmi — волновая функция стационарного состояния, характеризу-
ющегося главным n, орбитальным l и магнитным m квантовыми чис-
                        (0)
лами. Каждое значение En вырождено по l и m с кратностью n2 . Опе-
ратор (2.29) не нарушает сферической симметрии задачи, поэтому L2
и Lz остаются интегралами движения, а значит, можно пользоваться
теорией возмущений для невырожденных уровней.
                                                 (0)
   Вычислим поправку первого порядка к уровню En :

      (1)                              1
  Enl = hnlm| V |nlmi = −                  2
                                             hnlm| (Ĥ0 + Ze2 /r)2 |nlmi =
                                     2µe c
              1
  =−              2
                    hnlm| Ĥ02 + Ze2 Ĥ0 r−1 + Ze2 r−1 Ĥ0 + Z 2 e4 r−2 |nlmi .   (2.31)
            2µe c


                                             25

Страницы