Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2.3. Эффект Штарка для пространственного рота-
тора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ сдвиги энергий
и изменение волновых функций стационарных состояний простран-
ственного ротатора в однородном электрическом поле с напряженно-
стью E . Момент инерции ротатора I, его электрический дипольный
момент d. Указать условие применимости ТВ.
Решение. Оператор возмущения представляет собой энергию диполь-
ной системы в однородном электрическом поле
ˆ
V = −d E.
Направим ось Oz сферической системы координат вдоль вектора E .
Тогда
ˆ
V = −d E cos θ. (2.20)
Энергии стационарных состояний и соответствующие им волновые
функции в отсутствие возмущения известны (см. ч. 2, пример 1.2):
E
(0)
l
=
}
2
2I
l(l + 1), l = 0, 1, . . . ; (2.21)
Ψ
(0)
lm
(θ, ϕ) = Y
lm
(θ, ϕ), m = 0, ±1, . . . , ±l. (2.22)
Энергетический уровень E
(0)
l
вырожден по магнитному квантовому
числу m с кратностью g
l
= 2l + 1. Это объясняется наличием двух
интегралов движения (помимо полной энергии и четности): L
2
и L
z
.
Вычислим матричный элемент оператора (2.20) в энергетическом пред-
ставлении на базисных функциях (2.22) невозмущенного ротатора, ис-
пользуя результат, полученный в ч. 2 (пример 3.9):
hl
0
m
0
|V |lmi = −d E hl
0
m
0
|cos θ |lmi =
= −d E δ
m
0
m
(
s
(l − m + 1)(l + m + 1)
(2l + 1)(2l + 3)
δ
l
0
,l+1
+
+
s
(l − m)(l + m)
(2l − 1)(2l + 1)
δ
l
0
,l−1
)
. (2.23)
Данный матричный элемент по структуре сходен с (2.19). Он диагона-
лен по магнитному квантовому числу m, которое связано с величиной
L
z
. Возмущение (2.20) не действует на переменную ϕ и L
z
будет инте-
гралом движения даже при включенном возмущении. Поэтому, зафик-
сировав m, можно пользоваться теорией возмущений для невырожден-
ных уровней, несмотря на вырождение E
(0)
l
по m.
23
Пример 2.3. Эффект Штарка для пространственного рота-
тора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ сдвиги энергий
и изменение волновых функций стационарных состояний простран-
ственного ротатора в однородном электрическом поле с напряженно-
стью E. Момент инерции ротатора I, его электрический дипольный
момент d. Указать условие применимости ТВ.
Решение. Оператор возмущения представляет собой энергию диполь-
ной системы в однородном электрическом поле

                                       V̂ = −d E.

Направим ось Oz сферической системы координат вдоль вектора E.
Тогда
                        V̂ = −d E cos θ.                 (2.20)
Энергии стационарных состояний и соответствующие им волновые
функции в отсутствие возмущения известны (см. ч. 2, пример 1.2):

        (0)    }2
       El   =     l(l + 1),                                l = 0, 1, . . . ;    (2.21)
               2I
        (0)
       Ψlm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ),                     m = 0, ±1, . . . , ±l.      (2.22)
                                 (0)
Энергетический уровень El вырожден по магнитному квантовому
числу m с кратностью gl = 2l + 1. Это объясняется наличием двух
интегралов движения (помимо полной энергии и четности): L2 и Lz .
Вычислим матричный элемент оператора (2.20) в энергетическом пред-
ставлении на базисных функциях (2.22) невозмущенного ротатора, ис-
пользуя результат, полученный в ч. 2 (пример 3.9):

  hl0 m0 | V |lmi = −d E hl0 m0 | cos θ |lmi =
                             (s
                                   (l − m + 1)(l + m + 1)
               = −d E δm0 m                                  δl0 ,l+1 +
                                        (2l + 1)(2l + 3)
                                             s                             )
                                                (l − m)(l + m)
                                           +                       δl0 ,l−1 .   (2.23)
                                                (2l − 1)(2l + 1)

Данный матричный элемент по структуре сходен с (2.19). Он диагона-
лен по магнитному квантовому числу m, которое связано с величиной
Lz . Возмущение (2.20) не действует на переменную ϕ и Lz будет инте-
гралом движения даже при включенном возмущении. Поэтому, зафик-
сировав m, можно пользоваться теорией возмущений для невырожден-
                                         (0)
ных уровней, несмотря на вырождение El по m.


                                          23

Страницы