Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

V
mn
= −eE hm|x |ni = −eEx
0
r
n
2
δ
m,n−1
+
r
n + 1
2
δ
m,n+1
!
, (2.14)
где x
0
=
p
}/(µω). Явный вид hm|x |ni получен в примере 3.8 части 2.
Из (2.5) и (2.14) видно, что E
(1)
n
= V
nn
= 0, т. е. в первом порядке ТВ
сдвиг уровней не наблюдается (линейный эффект Штарка отсутствует
из-за нечетности оператора
ˆ
V ), поэтому необходимо искать поправку
второго порядка. Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.6), получаем
E
(2)
n
=
X
0
m
|V
nm
|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
=
=
e
2
E
2
x
2
0
2}ω
X
m6=n
(n − m)
−1
[
√
n δ
m,n−1
+
√
n + 1 δ
m,n+1
]
2
=
=
e
2
E
2
x
2
0
2}ω
X
m6=n
(n − m)
−1
[nδ
2
m,n−1
+
p
n(n + 1) δ
m,n−1
δ
m,n+1
+
+ (n + 1)δ
2
m,n+1
]. (2.15)
δ-символы в (2.15) снимают суммирование по m; при этом в первой сум-
ме остается слагаемое с m = n − 1, в третьей — слагаемое с m = n + 1;
вторая сумма целиком обращается в нуль, поскольку m не может одно-
временно принимать значения n−1 и n+1. Таким образом, независимо
от n
E
(2)
n
= −
e
2
E
2
2µω
2
,
т. е. эффект Штарка будет квадратичным, а уровни окажутся одина-
ково сдвинутыми вниз. Теория возмущений позволила вычислить ко-
эффициент перед E
2
, связанный с поляризуемостью α
0
:
∆E = E
(2)
n
= −
1
2
α
0
E
2
. (2.16)
В случае линейного гармонического осциллятора α
0
=
e
2
µω
2
.
Аналогичным образом можно вычислить и поправку первого поряд-
ка к волновым функциям:
Ψ
(1)
n
=
X
0
m
V
mn
E
(0)
n
− E
(0)
m
=
21
                                       r                r             !
                                           n                n+1
  Vmn = −eE hm| x |ni = −eEx0                δm,n−1 +           δm,n+1 ,     (2.14)
                                           2                 2
         p
где x0 = }/(µω). Явный вид hm| x |ni получен в примере 3.8 части 2.
                                 (1)
   Из (2.5) и (2.14) видно, что En = Vnn = 0, т. е. в первом порядке ТВ
сдвиг уровней не наблюдается (линейный эффект Штарка отсутствует
из-за нечетности оператора V̂ ), поэтому необходимо искать поправку
второго порядка. Подставляя (2.12) и (2.14) в (2.6), получаем

            X0     |Vnm |2
  En(2) =           (0)     (0)
                                =
              m   E n   − E m
                2 2 2 X
               e E x0                 √          √
            =              (n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ]2 =
                2}ω
                        m6=n

        e2 E 2 x20 X                     p
      =              (n − m)−1 [nδm,n−1
                                  2
                                        + n(n + 1) δm,n−1 δm,n+1 +
         2}ω
                   m6=n
                                                                  2
                                                        + (n + 1)δm,n+1 ].   (2.15)

δ-символы в (2.15) снимают суммирование по m; при этом в первой сум-
ме остается слагаемое с m = n − 1, в третьей — слагаемое с m = n + 1;
вторая сумма целиком обращается в нуль, поскольку m не может одно-
временно принимать значения n − 1 и n + 1. Таким образом, независимо
от n
                             (2)     e2 E 2
                           En = −           ,
                                     2µω 2
т. е. эффект Штарка будет квадратичным, а уровни окажутся одина-
ково сдвинутыми вниз. Теория возмущений позволила вычислить ко-
эффициент перед E 2 , связанный с поляризуемостью α0 :
                                             1
                               ∆E = En(2) = − α0 E 2 .                       (2.16)
                                             2
                                                    e2
В случае линейного гармонического осциллятора α0 =      .
                                                   µω 2
   Аналогичным образом можно вычислить и поправку первого поряд-
ка к волновым функциям:

            X0      Vmn
  Ψ(1)
   n =            (0)        (0)
                                   =
             m   En     −   Em


                                         21

Страницы