Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, в отсутствие вырождения n-го состояния энергия с
учетом поправок второго порядка и волновая функция с учетом попра-
вок первого порядка по
ˆ
V определяются выражениями:
E
n
= E
(0)
n
+ V
nn
+
X
0
m
|V
nm
|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
; (2.7)
Ψ
n
= Ψ
(0)
n
+
X
0
m
V
mn
E
(0)
n
− E
(0)
m
Ψ
(0)
m
. (2.8)
В большинстве случаев формулы (2.7) и (2.8) оказываются доста-
точными для приближенного решения задачи. Условие их применимо-
сти сводится, очевидно, к выполнению неравенства
|V
nm
| |E
(0)
n
− E
(0)
m
|. (2.9)
На практике обычно поступают следующим образом. Вначале находят
поправку первого порядка к энергии по формуле (2.5). Если она ока-
зывается ненулевой, решение задачи завершают. Если E
(1)
n
= 0, это
еще не означает, что поправка отсутствует вообще, а обусловлено лишь
определенной симметрией оператора
ˆ
V и функций Ψ
(0)
n
. В таком случае
переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии E
(2)
n
и
первого порядка к функции Ψ
(1)
n
и т. д. Как только очередная поправка
к энергии E
(k)
n
становится ненулевой, вычисления прекращают во избе-
жание возможной расходимости рядов (2.4). Данная процедура иногда
называется поиском поправок в первом неисчезающем порядке теории
возмущений.
Пример 2.1. На осциллятор с массой µ и частотой ω наложено воз-
мущение
ˆ
V =
1
2
αω
2
x
2
. (2.10)
В первом неисчезающем порядке теории возмущений найти энергии
и волновые функции стационарных состояний осциллятора. Указать
условия применимости ТВ.
Решение. Если гамильтониан представить в виде (2.1), то в качестве
ˆ
H
0
следует взять гамильтониан линейного гармонического осциллятора
ˆ
H
0
= −
}
2
2µ
d
2
dx
2
+
1
2
µω
2
x
2
. (2.11)
Его собственные функции и собственные значения:
E
(0)
n
= }ω
n +
1
2
; (2.12)
19
   Таким образом, в отсутствие вырождения n-го состояния энергия с
учетом поправок второго порядка и волновая функция с учетом попра-
вок первого порядка по V̂ определяются выражениями:
                                           X0       |Vnm |2
                 En =   En(0)   + Vnn +             (0)       (0)
                                                                    ;    (2.7)
                                           m    En − E m
                                  X0       Vmn
                 Ψn = Ψ(0)
                       n +              (0)         (0)
                                                          Ψ(0)
                                                           m .           (2.8)
                                  m    En      −   Em
   В большинстве случаев формулы (2.7) и (2.8) оказываются доста-
точными для приближенного решения задачи. Условие их применимо-
сти сводится, очевидно, к выполнению неравенства
                         |Vnm |  |En(0) − Em
                                            (0)
                                                |.                       (2.9)
На практике обычно поступают следующим образом. Вначале находят
поправку первого порядка к энергии по формуле (2.5). Если она ока-
                                                         (1)
зывается ненулевой, решение задачи завершают. Если En = 0, это
еще не означает, что поправка отсутствует вообще, а обусловлено лишь
                                                   (0)
определенной симметрией оператора V̂ и функций Ψn . В таком случае
                                                                 (2)
переходят к вычислению поправки второго порядка к энергии En и
                             (1)
первого порядка к функции Ψn и т. д. Как только очередная поправка
           (k)
к энергии En становится ненулевой, вычисления прекращают во избе-
жание возможной расходимости рядов (2.4). Данная процедура иногда
называется поиском поправок в первом неисчезающем порядке теории
возмущений.
Пример 2.1. На осциллятор с массой µ и частотой ω наложено воз-
мущение
                              1
                         V̂ = αω 2 x2 .                   (2.10)
                              2
В первом неисчезающем порядке теории возмущений найти энергии
и волновые функции стационарных состояний осциллятора. Указать
условия применимости ТВ.
Решение. Если гамильтониан представить в виде (2.1), то в качестве Ĥ0
следует взять гамильтониан линейного гармонического осциллятора
                              }2 d 2   1
                      Ĥ0 = −       2
                                      + µω 2 x2 .                       (2.11)
                              2µ dx    2
Его собственные функции и собственные значения:
                               
                              1
               En(0) = }ω n +     ;                                     (2.12)
                              2

                                      19

Страницы