Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

решения возмущенного уравнения Шредингера
ˆ
HΨ = EΨ (2.3)
ищутся в виде разложения в ряд:
E
n
= E
(0)
n
+ E
(1)
n
+ E
(2)
n
+ . . . =
∞
X
k=0
E
(k)
n
;
Ψ
n
= Ψ
(0)
n
+ Ψ
(1)
n
+ Ψ
(2)
n
+ . . . =
∞
X
k=0
Ψ
(k)
n
,
(2.4)
где Ψ
(k)
n
, E
(k)
n
— величины k-го порядка малости по возмущению
ˆ
V ,
называемые k-ми поправками ТВ, или поправками k-го порядка. Для
их нахождения используется энергетическое представление по базису
невозмущенной задачи. Первые слагаемые рядов (2.4) определяются
следующими формулами:
E
(1)
n
= V
nn
; (2.5)
E
(2)
n
=
X
0
m
|V
nm
|
2
E
(0)
n
− E
(0)
m
, Ψ
(1)
n
=
X
0
m
V
mn
E
(0)
n
− E
(0)
m
Ψ
(0)
m
, (2.6)
где V
mn
≡ hm|V |ni =
R
Ψ
(0)∗
m
(ξ)
ˆ
V Ψ
(0)
n
(ξ) dξ — матричный элемент опе-
ратора
ˆ
V по невозмущенным волновым функциям (т. е. оператор возму-
щения в энергетическом представлении; здесь и далее
ˆ
V предполагает-
ся эрмитовым, и поэтому V
nm
= V
∗
mn
), а штрих над знаком суммы озна-
чает пропуск слагаемого с m = n:
P
0
m
≡
P
m6=n
. Очевидно, что E
(1)
n
рав-
няется среднему значению «возмущения» в состоянии Ψ
(0)
n
, а поправка
второго порядка к энергии основного состояния не может быть поло-
жительной. Сумму в (2.6) с энергетическим знаменателем иногда на-
зывают спектральной суммой. Обратим внимание на ортогональность
невозмущенной волновой функции Ψ
(0)
n
и поправки Ψ
(1)
n
.
Если в уравнении (2.3) требуется найти энергию с точностью до пер-
вого порядка, поправку к волновой функции вычислять не следует, по-
скольку для расчета наблюдаемых величин требуется вычисление мат-
ричных элементов. При учете поправок к волновой функции в матрич-
ных элементах появляются квадратичные по возмущению члены, что
является превышением точности. Поэтому в формуле (2.5) при вычис-
лении E
(1)
n
ограничиваются Ψ
(0)
n
, в (2.6) при нахождении E
(2)
n
оставляют
Ψ
(1)
n
и т. д.
18
решения возмущенного уравнения Шредингера

                                            ĤΨ = EΨ                                         (2.3)

ищутся в виде разложения в ряд:
                                                                      ∞
                                                                      X
                  En =      En(0)   +   En(1)   +   En(2)   + ... =         En(k) ;
                                                                      k=0
                                                                       ∞
                                                                                             (2.4)
                                                                      X
                  Ψn = Ψ(0)  (1)  (2)
                        n + Ψn + Ψn + . . . =                               Ψ(k)
                                                                             n ,
                                                                      k=0

     (k)    (k)
где Ψn , En — величины k-го порядка малости по возмущению V̂ ,
называемые k-ми поправками ТВ, или поправками k-го порядка. Для
их нахождения используется энергетическое представление по базису
невозмущенной задачи. Первые слагаемые рядов (2.4) определяются
следующими формулами:

     En(1) = Vnn ;                                                                           (2.5)
       (2)
             X0        |Vnm |2                               X0        Vmn
     En =             (0)           (0)
                                        ,       Ψ(1)
                                                 n       =         (0)        (0)
                                                                                      Ψ(0)
                                                                                       m ,   (2.6)
              m      En     − Em                              m   En     −   Em
                     R (0)∗       (0)
где Vmn ≡ hm| V |ni = Ψm (ξ)V̂ Ψn (ξ) dξ — матричный элемент опе-
ратора V̂ по невозмущенным волновым функциям (т. е. оператор возму-
щения в энергетическом представлении; здесь и далее V̂ предполагает-
                                ∗
ся эрмитовым, и поэтому Vnm = Vmn  ), а штрих над знаком суммы озна-
                                  P0     P                   (1)
чает пропуск слагаемого с m = n:      ≡     . Очевидно, что En рав-
                                                     m       m6=n
                                                                                      (0)
няется среднему значению «возмущения» в состоянии Ψn , а поправка
второго порядка к энергии основного состояния не может быть поло-
жительной. Сумму в (2.6) с энергетическим знаменателем иногда на-
зывают спектральной суммой. Обратим внимание на ортогональность
                                      (0)             (1)
невозмущенной волновой функции Ψn и поправки Ψn .
    Если в уравнении (2.3) требуется найти энергию с точностью до пер-
вого порядка, поправку к волновой функции вычислять не следует, по-
скольку для расчета наблюдаемых величин требуется вычисление мат-
ричных элементов. При учете поправок к волновой функции в матрич-
ных элементах появляются квадратичные по возмущению члены, что
является превышением точности. Поэтому в формуле (2.5) при вычис-
        (1)                   (0)                         (2)
лении En ограничиваются Ψn , в (2.6) при нахождении En оставляют
  (1)
Ψn и т. д.


                                                    18

Страницы