Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Ψ
(0)
n
(x) = [x
0
n!2
n
√
π]
−1/2
H
n
(ξ) e
−ξ
2
/2
, (2.13)
где x
0
=
p
}/(µω); ξ = x/x
0
; H
n
(ξ) — полином Эрмита; n = 0, 1, . . .
Вначале найдем поправку к энергии в первом порядке ТВ. Для этого
перейдем к энергетическому представлению оператора (2.10) по базису
«невозмущенного» осциллятора (2.13) и вычислим, согласно (2.5), его
диагональные матричные элементы:
E
(1)
n
= V
nn
≡ hn|V |ni =
1
2
αω
2
hn|x
2
|ni =
1
2
αω
2
x
2
0
n +
1
2
(см. ч. 2, задача 35, либо воспользоваться теоремой о вириале).
E
(1)
n
6= 0, и поэтому более высокие порядки мы не исследуем. По-
правки к волновой функции в данном случае не требуются. Таким об-
разом,
E
(TB)
n
= E
(0)
n
+ E
(1)
n
= }ω
1 +
α
2µ
n +
1
2
;
Ψ
(TB)
n
(x) = Ψ
(0)
n
(x); n = 0, 1, . . .
Согласно (2.9), условием применимости ТВ будет |α| µ. Предлагаем
читателю самостоятельно сопоставить полученное приближенное реше-
ние с точным.
Сдвиг энергетических уровней заряженной частицы под действием
внешнего электрического поля принято называть эффектом Штарка,
а для внешнего магнитного поля — эффектом Зеемана.
Пример 2.2. Эффект Штарка для линейного гармоническо-
го осциллятора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ
сдвиг энергии и изменение волновой функции стационарного состоя-
ния осциллятора с частотой ω, массой µ и зарядом e, помещенного в
однородное электрическое поле напряженности E, направленное вдоль
оси Ox. Указать условие применимости ТВ.
Решение. Оператор возмущения определяется потенциальной энергией
частицы в однородном электрическом поле:
ˆ
V = −eEx.
Энергия невозмущенного n-го стационарного состояния и соответству-
ющая ей волновая функция даются соответственно выражениями (2.12)
и (2.13). Найдем энергетическое представление оператора
ˆ
V :
20
                                   √ −1/2           2
                Ψ(0)
                 n (x) = [x0 n!2
                                 n
                                    π]    Hn (ξ) e−ξ /2 ,     (2.13)
          p
где x0 = }/(µω); ξ = x/x0 ; Hn (ξ) — полином Эрмита; n = 0, 1, . . .
   Вначале найдем поправку к энергии в первом порядке ТВ. Для этого
перейдем к энергетическому представлению оператора (2.10) по базису
«невозмущенного» осциллятора (2.13) и вычислим, согласно (2.5), его
диагональные матричные элементы:
                                                                
                               1                 1             1
      En(1) = Vnn ≡ hn| V |ni = αω 2 hn| x2 |ni = αω 2 x20 n +
                               2                 2             2

(см. ч. 2, задача 35, либо воспользоваться теоремой о вириале).
     (1)
   En 6= 0, и поэтому более высокие порядки мы не исследуем. По-
правки к волновой функции в данном случае не требуются. Таким об-
разом,
                                                    
                (TB)     (0)   (1)           α       1
              En     = En + En = }ω 1 +          n+      ;
                                            2µ       2
            Ψ(TB)
             n    (x) = Ψ(0)
                         n (x);         n = 0, 1, . . .

Согласно (2.9), условием применимости ТВ будет |α|  µ. Предлагаем
читателю самостоятельно сопоставить полученное приближенное реше-
ние с точным.                                                    
   Сдвиг энергетических уровней заряженной частицы под действием
внешнего электрического поля принято называть эффектом Штарка,
а для внешнего магнитного поля — эффектом Зеемана.


Пример 2.2. Эффект Штарка для линейного гармоническо-
го осциллятора. Определить в первом неисчезающем порядке ТВ
сдвиг энергии и изменение волновой функции стационарного состоя-
ния осциллятора с частотой ω, массой µ и зарядом e, помещенного в
однородное электрическое поле напряженности E, направленное вдоль
оси Ox. Указать условие применимости ТВ.

Решение. Оператор возмущения определяется потенциальной энергией
частицы в однородном электрическом поле:

                              V̂ = −eEx.

Энергия невозмущенного n-го стационарного состояния и соответству-
ющая ей волновая функция даются соответственно выражениями (2.12)
и (2.13). Найдем энергетическое представление оператора V̂ :


                                   20

Страницы