Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= −
eEx
0
}ω
√
2
X
m6=n
(n − m)
−1
[
√
n δ
m,n−1
+
√
n + 1 δ
m,n+1
] =
=
eEx
0
}ω
√
2
[
√
n + 1 Ψ
(0)
n+1
−
√
n Ψ
(0)
n−1
].
Итак, в первом неисчезающем порядке теории возмущений
E
(TB)
n
= }ω
n +
1
2
−
e
2
E
2
2µω
2
; (2.17)
Ψ
(TB)
n
(x) = Ψ
(0)
n
+
eEx
0
}ω
√
2
[
√
n + 1 Ψ
(0)
n+1
(x) −
√
n Ψ
(0)
n−1
(x)]. (2.18)
Для применимости ТВ поле E должно быть достаточно слабым. Из
(2.9) и (2.14) следует, что
E
}ω
ex
0
.
Данная задача имеет и точное решение. Предлагаем читателю са-
мостоятельно сопоставить приближенное решение (2.17), (2.18) с точ-
ным
1
.
Пусть теперь невозмущенное значение энергии E
(0)
n
вырождено с
кратностью g
n
, т. е.
ˆ
H
0
Ψ
(0)
nk
= E
(0)
n
Ψ
(0)
nk
,
где k = 1, . . . , g
n
, а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т. е.
hn
0
k
0
|V |nki = B
k,n
0
n
δ
k
0
k
(2.19)
Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий
кратность вырождения в невозмущенной задаче, после наложения воз-
мущения по-прежнему остается интегралом движения. В данном слу-
чае при k 6= k
0
, n = n
0
числители спектральных сумм в (2.6) вместе
со знаменателями обращаются в 0, т. е. появляется неопределенность
0
0
. Если такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении
условия (2.19) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений
для невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как па-
раметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней.
1
Разложить точную волновую функцию (2.13) в ряд Тейлора по степеням
E. При дифференцировании полиномов Эрмита использовать свойство
dH
n
(ξ)
dξ
=
= 2nH
n−1
(ξ).
22
                eEx0 X               √          √
           =−     √       (n − m)−1 [ n δm,n−1 + n + 1 δm,n+1 ] =
                }ω 2 m6=n
                                              eEx0 √             √
                                         =      √ [ n + 1 Ψ(0)
                                                           n+1 −
                                                                     (0)
                                                                  n Ψn−1 ].
                                              }ω 2
      Итак, в первом неисчезающем порядке теории возмущений
                           
                          1     e2 E 2
       En(TB) = }ω n +        −        ;                                  (2.17)
                          2     2µω 2
                            eEx0 √             (0)       √   (0)
       Ψ(TB)
         n   (x) = Ψ (0)
                     n   +     √  [    n + 1 Ψ n+1 (x) −  n Ψn−1 (x)].    (2.18)
                            }ω 2
    Для применимости ТВ поле E должно быть достаточно слабым. Из
(2.9) и (2.14) следует, что
                                  }ω
                             E      .
                                 ex0
    Данная задача имеет и точное решение. Предлагаем читателю са-
мостоятельно сопоставить приближенное решение (2.17), (2.18) с точ-
ным 1 .                                                          
                                                              (0)
   Пусть теперь невозмущенное значение энергии En                   вырождено с
кратностью gn , т. е.
                            (0)         (0)
                       Ĥ0 Ψnk = En(0) Ψnk ,
где k = 1, . . . , gn , а оператор возмущения в энергетическом представле-
нии диагонален по k, т. е.

                           hn0 k 0 | V |nki = Bk,n0 n δk0 k               (2.19)

Физически это означает, что интеграл движения, обусловливающий
кратность вырождения в невозмущенной задаче, после наложения воз-
мущения по-прежнему остается интегралом движения. В данном слу-
чае при k 6= k 0 , n = n0 числители спектральных сумм в (2.6) вместе
со знаменателями обращаются в 0, т. е. появляется неопределенность
0
0
  . Если такие слагаемые положить равными нулю, то при выполнении
условия (2.19) можно по-прежнему пользоваться теорией возмущений
для невырожденных уровней, рассматривая квантовое число k как па-
раметр. Другими словами, задачу нужно решать независимо для каж-
дого фиксированного значения k, пользуясь теорией возмущений для
невырожденных уровней.
  1  Разложить точную волновую функцию (2.13) в ряд Тейлора по степеням
                                                                dHn (ξ)
E. При дифференцировании полиномов Эрмита использовать свойство         =
                                                                  dξ
= 2nHn−1 (ξ).


                                         22

Страницы