Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Поправка первого порядка к энергии, как следует из (2.5), (2.23),
равна нулю. Это обусловлено нечетностью оператора (2.20). Поправку
второго порядка к энергии найдем по формулам (2.6), (2.21) и (2.23),
сохраняя под знаком суммы лишь слагаемые с m
0
= m:
E
(2)
lm
=
X
l
0
6=l
|hl
0
m|V |lmi|
2
E
(0)
l
− E
(0)
l
0
=
2Id
2
E
2
}
2
X
l
0
6=l
[l(l + 1) − l
0
(l
0
+ 1)]
−1
×
×
(
(l + 1)
2
− m
2
(2l + 1)(2l + 3)
δ
2
l
0
,l+1
+ 2δ
l
0
,l+1
δ
l
0
,l−1
s
(l
2
− m
2
)[(l + 1)
2
− m
2
]
(2l − 1)(2l + 1)
2
(2l + 3)
+
+
l
2
− m
2
4l
2
− 1
δ
2
l
0
,l−1
)
=
IE
2
d
2
}
2
(
l(l+1)−3m
2
l(l+1)(2l−1)(2l+1)
при l > 0;
−
1
3
при l = m = 0.
(2.24)
Поправка E
(2)
lm
, как можно видеть из (2.24), будет зависеть не только
от l, но и от m как от параметра (точнее — от m
2
). Это обусловлено
тем, что возмущение (2.20) нарушает сферическую симметрию задачи
и L
2
перестает быть интегралом движения. Вместе с тем осевая сим-
метрия сохраняется; L
z
остается по-прежнему интегралом движения и
поэтому E
(2)
lm
не зависит от знака m. Таким образом, вырождение невоз-
мущенных уровней пространственного ротатора по магнитному кван-
товому числу под действием возмущения (2.20) частично снимается.
Возмущенные уровни также будут вырождены, но с меньшей кратно-
стью 2 − δ
0m
. Поправка E
(2)
lm
∼ E
2
, т. е. эффект Штарка квадратичен.
Для применимости теории возмущений поле E должно быть слабым, а
именно
E
}
2
Id
.
Предлагаем самостоятельно найти поправку первого порядка к волно-
вой функции, а также поляризуемость стационарных состояний рота-
тора.
Пример 2.4. Вычислить в первом порядке теории возмущений ре-
лятивистскую поправку к энергиям стационарных состояний водоро-
доподобного иона с зарядом ядра Z. Массу ядра считать большой по
сравнению с массой электрона µ
e
.
Решение. Данная поправка обусловлена релятивистской взаимосвязью
между классическими энергией и импульсом электрона. Получим вна-
чале оператор возмущения в координатном представлении. Будем ис-
ходить из релятивистского выражения для классической функции Га-
мильтона:
H
rel
(p, r) =
p
p
2
c
2
+ µ
2
e
c
4
− µ
e
c
2
−
Ze
2
r
. (2.25)
24
   Поправка первого порядка к энергии, как следует из (2.5), (2.23),
равна нулю. Это обусловлено нечетностью оператора (2.20). Поправку
второго порядка к энергии найдем по формулам (2.6), (2.21) и (2.23),
сохраняя под знаком суммы лишь слагаемые с m0 = m:

   (2)
          X | hl0 m| V |lmi |2        2Id2 E 2 X
  Elm  =              (0)   (0)
                                    =       2
                                                        [l(l + 1) − l0 (l0 + 1)]−1 ×
                    E l − E l0            }
          l0 6=l                                 l0 6=l
   (                                                    s
       (l + 1)2 − m2 2                                      (l2 − m2 )[(l + 1)2 − m2 ]
 ×                        δ0      + 2δl0 ,l+1 δl0 ,l−1                                  +
      (2l + 1)(2l + 3) l ,l+1                               (2l − 1)(2l + 1)2 (2l + 3)
                       )             ( l(l+1)−3m2
    2
   l −m 2   2
                           IE d 2 2
                                       l(l+1)(2l−1)(2l+1)
                                                                 при l > 0;
 + 2           δl0 ,l−1 =                                                            (2.24)
    4l − 1                     }2     −   1
                                                                 при l = m = 0.
                                         3
              (2)
Поправка Elm , как можно видеть из (2.24), будет зависеть не только
от l, но и от m как от параметра (точнее — от m2 ). Это обусловлено
тем, что возмущение (2.20) нарушает сферическую симметрию задачи
и L2 перестает быть интегралом движения. Вместе с тем осевая сим-
метрия сохраняется; Lz остается по-прежнему интегралом движения и
           (2)
поэтому Elm не зависит от знака m. Таким образом, вырождение невоз-
мущенных уровней пространственного ротатора по магнитному кван-
товому числу под действием возмущения (2.20) частично снимается.
Возмущенные уровни также будут вырождены, но с меньшей кратно-
                         (2)
стью 2 − δ0m . Поправка Elm ∼ E 2 , т. е. эффект Штарка квадратичен.
Для применимости теории возмущений поле E должно быть слабым, а
именно
                                     }2
                              E        .
                                     Id
Предлагаем самостоятельно найти поправку первого порядка к волно-
вой функции, а также поляризуемость стационарных состояний рота-
тора.                                                             

Пример 2.4. Вычислить в первом порядке теории возмущений ре-
лятивистскую поправку к энергиям стационарных состояний водоро-
доподобного иона с зарядом ядра Z. Массу ядра считать большой по
сравнению с массой электрона µe .
Решение. Данная поправка обусловлена релятивистской взаимосвязью
между классическими энергией и импульсом электрона. Получим вна-
чале оператор возмущения в координатном представлении. Будем ис-
ходить из релятивистского выражения для классической функции Га-
мильтона:
                            p                         Ze2
               Hrel (p, r) = p2 c2 + µ2e c4 − µe c2 −     . (2.25)
                                                       r

                                             24

Страницы