Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Математическое приложение
Для вычисления матричного элемента hnlm|r
−2
|nlmi в примере
2.4 необходимо воспользоваться явным видом радиальных водородных
волновых функций:
f
nl
(r) = N
nl
2Zr
na
0
l
exp
−
Zr
na
0
1
F
1
(−n + l + 1; 2l + 2; 2Zr/na
0
), (П1)
где
N
nl
=
2Z
na
0
3
/
2
1
(2l + 1)!
s
(n + l)!
2n(n − l − 1)!
(П2)
— нормировочный множитель;
1
F
1
— вырожденная гипергеометриче-
ская функция (см. приложение части 2).
Пользуясь (П1), после замены t = 2Zr/(na
0
) имеем:
hnlm|r
−2
|nlmi =
Z
∞
0
f
2
nl
(r) dr =
=
2Z
na
0
2
N
2
nl
Z
∞
0
t
2l
e
−t
1
F
2
1
(−n + l + 1; 2l + 2; t) dt.
Интеграл вычислен в приложении f к учебнику [1] (дополнительная
литература):
Z
∞
0
(. . .) dt = (2l)!
2
F
1
(−n + l + 1, 2l + 1; 2l + 2; 1),
где
2
F
1
— гипергеометрическая функция, определяемая рядом Гаусса:
2
F
1
(a, b; c; x) = 1 +
ab
c
x
1!
+
a(a + 1)b(b + 1)
c(c + 1)
x
2
2!
+ . . .
Ее частное значение при x = 1 приведено в справочнике [4] дополни-
тельной литературы [формула (15.1.20)]:
2
F
1
(a, b; c; 1) =
Γ(c) Γ(c − a − b)
Γ(c − a) Γ(c − b)
.
73
Математическое приложение

    Для вычисления матричного элемента hnlm| r −2 |nlmi в примере
2.4 необходимо воспользоваться явным видом радиальных водородных
волновых функций:
                    l          
                 2Zr          Zr
 fnl (r) = Nnl          exp −       1 F1 (−n + l + 1; 2l + 2; 2Zr/na0 ), (П1)
                 na0          na0
где                                                                s
                                         3/2
                                   2Z                1                    (n + l)!
                     Nnl =                                                                            (П2)
                                   na0           (2l + 1)!             2n(n − l − 1)!
— нормировочный множитель; 1 F1 — вырожденная гипергеометриче-
ская функция (см. приложение части 2).
   Пользуясь (П1), после замены t = 2Zr/(na0 ) имеем:
                           Z       ∞
            −2                          2
  hnlm| r        |nlmi =               fnl (r) dr =
                               0
                                       2         Z       ∞
                               2Z             2
                       =                     Nnl                t2l e−t 1 F12 (−n + l + 1; 2l + 2; t) dt.
                               na0                     0

Интеграл вычислен в приложении f к учебнику [1] (дополнительная
литература):
          Z ∞
              (. . .) dt = (2l)!2 F1 (−n + l + 1, 2l + 1; 2l + 2; 1),
                 0

где 2 F1 — гипергеометрическая функция, определяемая рядом Гаусса:
                                    ab x    a(a + 1)b(b + 1) x2
            2 F1 (a, b; c; x) = 1 +       +                     + ...
                                     c 1!       c(c + 1)     2!
Ее частное значение при x = 1 приведено в справочнике [4] дополни-
тельной литературы [формула (15.1.20)]:
                                                           Γ(c) Γ(c − a − b)
                        2 F1 (a, b; c; 1)          =                         .
                                                           Γ(c − a) Γ(c − b)



                                                           73

Страницы