Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Для частицы с энергией E, находящейся в потенциальной яме (дис-
кретный спектр), волновая функция должна убывать при x → ∓∞
(рис. 1.1, соответственно области I, III). При этом связь экспоненци-
ально убывающего решения в классически недоступной области с ре-
шением в классически разрешенной области движения определяется
следующей формулой сопряжения:
C
p
|p(x)|
exp
−
1
}
Z
x
a
|p(x
0
)|dx
0
→
2C
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
.
U(x) > E U(x) < E
(1.8)
Формула сопряжения (1.8) записана в виде, не зависящем от того, с
какой стороны от точки поворота (точка a) лежит классически недо-
ступная область движения. Так, она применима непосредственно как к
левой точке поворота a, так и к правой точке поворота b (рис. 1.1) с со-
ответствующей заменой a → b и
π
4
→ −
π
4
. При этом следует помнить о
том, что при углублении в классически недоступную область волновая
функция должна экспоненциально затухать.
1.2. Правило квантования Бора – Зоммерфельда
С помощью формул сопряжения можно получить условие, опреде-
ляющее в ВКБ-приближении положение энергетических уровней дис-
кретного спектра (правило квантования Бора – Зоммерфельда).
Пример 1.2. Получить правило квантования Бора – Зоммерфельда
для случая движения частицы в поле, изображенном на рис. 1.1.
Решение. Поскольку обе точки поворота являются правильными, запи-
шем волновую функцию в классически доступной области возле каж-
дой из этих точек, пользуясь формулой сопряжения (1.8):
Ψ
a
(x) =
C
a
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
, (1.9)
Ψ
b
(x) =
C
b
p
p(x)
cos
1
}
Z
x
b
p(x
0
) dx
0
+
π
4
, (1.10)
где C
a
и C
b
— произвольные константы.
В любой точке x классически доступной области (a < x < b), доста-
точно удаленной от точек поворота, функции Ψ
a
(x) и Ψ
b
(x) должны
переходить друг в друга, т. е. необходимо приравнять их логарифми-
ческие производные. Помня о том, что множители перед косинусами
8
   Для частицы с энергией E, находящейся в потенциальной яме (дис-
кретный спектр), волновая функция должна убывать при x → ∓∞
(рис. 1.1, соответственно области I, III). При этом связь экспоненци-
ально убывающего решения в классически недоступной области с ре-
шением в классически разрешенной области движения определяется
следующей формулой сопряжения:
                   Z x                          Z x                
      C           1                     2C        1                 π
  p         exp −       |p(x0 )| dx0 → p      cos      p(x0 ) dx0 −    .
     |p(x)|       } a                    p(x)     } a               4
          U (x) > E                           U (x) < E
                                                                   (1.8)

Формула сопряжения (1.8) записана в виде, не зависящем от того, с
какой стороны от точки поворота (точка a) лежит классически недо-
ступная область движения. Так, она применима непосредственно как к
левой точке поворота a, так и к правой точке поворота b (рис. 1.1) с со-
                                 π     π
ответствующей заменой a → b и → − . При этом следует помнить о
                                 4     4
том, что при углублении в классически недоступную область волновая
функция должна экспоненциально затухать.

1.2.   Правило квантования Бора – Зоммерфельда
   С помощью формул сопряжения можно получить условие, опреде-
ляющее в ВКБ-приближении положение энергетических уровней дис-
кретного спектра (правило квантования Бора – Зоммерфельда).
Пример 1.2. Получить правило квантования Бора – Зоммерфельда
для случая движения частицы в поле, изображенном на рис. 1.1.
Решение. Поскольку обе точки поворота являются правильными, запи-
шем волновую функцию в классически доступной области возле каж-
дой из этих точек, пользуясь формулой сопряжения (1.8):
                                   Z x                
                         Ca        1                 π
               Ψa (x) = p      cos      p(x0 ) dx0 −     ,   (1.9)
                          p(x)     } a               4
                                   Z x                
                         Cb        1       0     0   π
               Ψb (x) = p      cos      p(x ) dx +       , (1.10)
                          p(x)     } b               4

где Ca и Cb — произвольные константы.
   В любой точке x классически доступной области (a < x < b), доста-
точно удаленной от точек поворота, функции Ψa (x) и Ψb (x) должны
переходить друг в друга, т. е. необходимо приравнять их логарифми-
ческие производные. Помня о том, что множители перед косинусами


                                   8

Страницы