Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Поэтому, используя (1.3) и (1.7), записываем в явном виде классический
импульс и координаты точек поворота при заданной полной энергии E:
p(x) =
s
2µ
E −
1
2
µω
2
x
2
; (1.13)
b =
s
2E
µω
2
, a = −b. (1.14)
Фазовый интеграл в левой части (1.12) вычисляется с подынтеграль-
ной функцией (1.13) и пределами интегрирования (1.14). Учитывая чет-
ность p(x) и делая замену
r
µω
2
2E
x = sin v, имеем:
J =
Z
b
a
p(x) dx =
p
8µE
Z
b
0
r
1 −
µω
2
2E
x
2
dx =
4E
ω
Z
π/2
0
cos
2
v dv =
πE
ω
.
Приравнивая вычисленный интеграл π}
n +
1
2
, получаем энергети-
ческий спектр осциллятора в ВКБ-приближении:
E
n
= }ω
n +
1
2
, n = 0, 1, . . .
Интересно, что в данном частном случае результат оказывается точ-
ным, хотя фактически правило квантования Бора – Зоммерфельда
справедливо лишь для высоковозбужденных уровней (n 1).
Пример 1.4. Получить правило квантования Бора – Зоммерфельда
для случая, когда движение с одной стороны ограничено непроницае-
мой стенкой.
Решение. Пусть для определенности частица не может проникать в об-
ласть x > b, т. е. U (x) = ∞ при x > b (см. рис. 3.3), и здесь волновая
функция Ψ(x) ≡ 0. Она также должна обратиться в нуль и на грани-
це при x = b (стандартные условия требуют непрерывности волновой
функции):
Ψ(b) = 0. (1.15)
Правило квантования в форме (1.12) не учитывает граничного условия
(1.15), поскольку при его выводе предполагалось, что волновая функ-
ция должна экспоненциально затухать в области x > b.
Чтобы обобщить правило квантования, воспользуемся формулой со-
пряжения (1.9) для точки поворота a. Для точки поворота b формула
10
Поэтому, используя (1.3) и (1.7), записываем в явном виде классический
импульс и координаты точек поворота при заданной полной энергии E:
                             s                 
                                        1 2 2
                     p(x) = 2µ E − µω x ;                        (1.13)
                                        2
                         s
                             2E
                     b=          ,    a = −b.                    (1.14)
                            µω 2

Фазовый интеграл в левой части (1.12) вычисляется с подынтеграль-
ной функцией (1.13) и пределами
                           r       интегрирования (1.14). Учитывая чет-
                              µω 2
ность p(x) и делая замену           x = sin v, имеем:
                              2E
     Z b                Z br                          Z
                  p                  µω 2 2       4E π/2 2              πE
 J=      p(x) dx = 8µE         1−        x dx =              cos v dv =    .
      a                   0          2E            ω 0                   ω
                                                    
                                                   1
Приравнивая вычисленный интеграл π} n +                , получаем энергети-
                                                   2
ческий спектр осциллятора в ВКБ-приближении:
                                    
                                   1
                  En = }ω n +          ,     n = 0, 1, . . .
                                   2

Интересно, что в данном частном случае результат оказывается точ-
ным, хотя фактически правило квантования Бора – Зоммерфельда
справедливо лишь для высоковозбужденных уровней (n  1).       

Пример 1.4. Получить правило квантования Бора – Зоммерфельда
для случая, когда движение с одной стороны ограничено непроницае-
мой стенкой.
Решение. Пусть для определенности частица не может проникать в об-
ласть x > b, т. е. U (x) = ∞ при x > b (см. рис. 3.3), и здесь волновая
функция Ψ(x) ≡ 0. Она также должна обратиться в нуль и на грани-
це при x = b (стандартные условия требуют непрерывности волновой
функции):
                               Ψ(b) = 0.                          (1.15)
Правило квантования в форме (1.12) не учитывает граничного условия
(1.15), поскольку при его выводе предполагалось, что волновая функ-
ция должна экспоненциально затухать в области x > b.
    Чтобы обобщить правило квантования, воспользуемся формулой со-
пряжения (1.9) для точки поворота a. Для точки поворота b формула


                                    10

Страницы