Задачи по квантовой механике. Копытин И.В - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

можно рассматривать как константы, после несложных преобразо-
ваний получаем:
tg
1
}
Z
x
a
p(x
0
) dx
0
−
π
4
= tg
1
}
Z
x
b
p(x
0
) dx
0
+
π
4
. (1.11)
Для тождественного выполнения равенства (1.11) аргументы тан-
генсов должны различаться на целое число π:
Z
b
a
p(x) dx = π}
n +
1
2
, n = 0, 1, . . . (1.12)
Отрицательные значения n исключены из-за того, что в классически
разрешенной области, как можно видеть из (1.3), p(x) > 0.
Выражение (1.12) является правилом квантования энергетических
уровней в одномерной потенциальной яме. Пределы интегрирования a
и b (точки поворота) — функции энергии E, которые задаются неявно
уравнением (1.7). Классический импульс p(x) также зависит от энер-
гии, как от параметра (см. (1.3)). Поэтому выражение (1.12) представ-
ляет собой в общем случае трансцендентное уравнение относительно
энергии E с целым неотрицательным параметром n. Очевидно, реше-
ние этого уравнения определяется величиной n и дает значение энергии
n-го возбужденного состояния. Можно также показать, что при этом
выполняется осцилляционная теорема: волновая функция n-го возбуж-
денного состояния внутри потенциальной ямы обращается в нуль ровно
n раз.
Фактически правило квантования (1.12) применимо при больших
значениях n. Действительно,
n ∼
1
}
Z
b
a
p(x) dx =
Z
b
a
dx
λ
∼
d
λ
1,
т. к. в квазиклассическом приближении де-бройлевская длина волны
значительно меньше размеров области движения.
Пример 1.3. Используя правило квантования Бора – Зоммерфельда,
получить энергии стационарных состояний линейного гармонического
осциллятора с массой µ и частотой ω.
Решение. Как известно, потенциальная энергия осциллятора
U(x) =
1
2
µω
2
x
2
.
9
можно рассматривать как константы, после несложных преобразо-
ваний получаем:
           Z x                      Z x                
           1                 π        1                 π
        tg      p(x0 ) dx0 −     = tg      p(x0 ) dx0 +     . (1.11)
           } a               4        } b               4

   Для тождественного выполнения равенства (1.11) аргументы тан-
генсов должны различаться на целое число π:
             Z b                   
                                  1
                 p(x) dx = π} n +     ,   n = 0, 1, . . .  (1.12)
              a                   2

Отрицательные значения n исключены из-за того, что в классически
разрешенной области, как можно видеть из (1.3), p(x) > 0.
   Выражение (1.12) является правилом квантования энергетических
уровней в одномерной потенциальной яме. Пределы интегрирования a
и b (точки поворота) — функции энергии E, которые задаются неявно
уравнением (1.7). Классический импульс p(x) также зависит от энер-
гии, как от параметра (см. (1.3)). Поэтому выражение (1.12) представ-
ляет собой в общем случае трансцендентное уравнение относительно
энергии E с целым неотрицательным параметром n. Очевидно, реше-
ние этого уравнения определяется величиной n и дает значение энергии
n-го возбужденного состояния. Можно также показать, что при этом
выполняется осцилляционная теорема: волновая функция n-го возбуж-
денного состояния внутри потенциальной ямы обращается в нуль ровно
n раз.                                                             
   Фактически правило квантования (1.12) применимо при больших
значениях n. Действительно,
                        Z       b                 Z       b
                    1                                         dx  d
                 n∼                 p(x) dx =                    ∼  1,
                    }       a                         a       λ   λ

т. к. в квазиклассическом приближении де-бройлевская длина волны
значительно меньше размеров области движения.

Пример 1.3. Используя правило квантования Бора – Зоммерфельда,
получить энергии стационарных состояний линейного гармонического
осциллятора с массой µ и частотой ω.
Решение. Как известно, потенциальная энергия осциллятора
                                              1 2 2
                                    U (x) =     µω x .
                                              2



                                              9

Страницы