Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таблица 2.1
Операторы основных физических величин
№ Величина Оператор Примечание
1 координата r
ˆ
r = r
ˆ
rΨ(r) = rΨ(r)
2 импульс p
ˆ
p = −i}∇
ˆ
p = −i}
X
k
e
k
∂
∂x
k
= −i}
∂
∂r
3 орб. момент L
ˆ
L = [r ×
ˆ
p]
4 кин. энергия T
ˆ
T =
ˆ
p
2
2m
ˆ
T Ψ(r) = −
}
2
2m
∇
2
Ψ(r)
5 потенц. энергия V
ˆ
V = V (r)
ˆ
V Ψ(r) = V (r)Ψ(r)
6 полная энергия E
ˆ
H =
ˆ
T +
ˆ
V
ˆ
H — гамильтониан
7 четность P
ˆ
I — инверсия
ˆ
IΨ(r) = Ψ(−r)
2.3. Операторы различных физических величин
В таблице 2.1 собраны операторы важнейших физических величин
(здесь и далее m — масса частицы). Первые шесть из них использу-
ются как в классической, так и в квантовой механике. Четность же
является чисто квантовой характеристикой микрообъектов. Предлага-
ем самостоятельно убедиться в линейности приведенных операторов.
В данном параграфе мы будем вычислять коммутаторы (т. е. нахо-
дить их явный вид) операторов важнейших физических величин.
Вначале рассмотрим операторы координаты и импульса. Для удоб-
ства мы будем пользоваться декартовым базисом.
Пример 2.7. Вычислить коммутатор [x, ˆp
x
].
Решение. Согласно своему определению, коммутатор является опера-
тором. Поэтому его явный вид можно найти, подействовав им на про-
извольную функцию. Из таблицы 2.1 возьмем явный вид оператора
проекции импульса:
ˆp
x
= −i}
∂
∂x
.
(2.15)
В соответствии с (2.15) и определением произведения 6
◦
, имеем:
xˆp
x
Ψ = x(ˆp
x
Ψ) = −i}x
∂Ψ
∂x
;
ˆp
x
xΨ = ˆp
x
(xΨ) = −i}
∂
∂x
(xΨ) = −i}Ψ − i}x
∂Ψ
∂x
.
20
                                                            Таблица 2.1
              Операторы основных физических величин

 №     Величина             Оператор        Примечание
 1     координата r         r̂ = r          r̂Ψ(r) = rΨ(r)
                                                     �     ∂        ∂
 2     импульс p            p̂ = −i�∇       p̂ = −i�   ek     = −i�
                                                          ∂xk       ∂r
                                                     k
 3     орб. момент L        L̂ = [r × p̂]
                                  p̂2                    �2 2
 4     кин. энергия T       T̂ =            T̂ Ψ(r) = −    ∇ Ψ(r)
                                 2m                     2m
 5     потенц. энергия V    V̂ = V (r)      V̂ Ψ(r) = V (r)Ψ(r)
 6     полная энергия E     Ĥ = T̂ + V̂    Ĥ — гамильтониан
 7     четность P           Iˆ — инверсия   ˆ
                                            IΨ(r) = Ψ(−r)


2.3.    Операторы различных физических величин
   В таблице 2.1 собраны операторы важнейших физических величин
(здесь и далее m — масса частицы). Первые шесть из них использу-
ются как в классической, так и в квантовой механике. Четность же
является чисто квантовой характеристикой микрообъектов. Предлага-
ем самостоятельно убедиться в линейности приведенных операторов.
   В данном параграфе мы будем вычислять коммутаторы (т. е. нахо-
дить их явный вид) операторов важнейших физических величин.
   Вначале рассмотрим операторы координаты и импульса. Для удоб-
ства мы будем пользоваться декартовым базисом.
Пример 2.7. Вычислить коммутатор [x, p̂ x ].
Решение. Согласно своему определению, коммутатор является опера-
тором. Поэтому его явный вид можно найти, подействовав им на про-
извольную функцию. Из таблицы 2.1 возьмем явный вид оператора
проекции импульса:
                                     ∂
                           p̂x = −i�    .                   (2.15)
                                     ∂x
В соответствии с (2.15) и определением произведения 6 ◦ , имеем:
                                     ∂Ψ
            xp̂x Ψ = x(p̂x Ψ) = −i�x    ;
                                     ∂x
                                    ∂                    ∂Ψ
            p̂x xΨ = p̂x (xΨ) = −i�    (xΨ) = −i�Ψ − i�x    .
                                    ∂x                   ∂x

                                       20

Страницы