Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 22 стр.

На основании 4◦ и 5◦ получаем:

                        [x, p̂x ]Ψ = xp̂x Ψ − p̂x xΨ = i�Ψ.                  (2.16)

Поскольку равенство (2.16) должно выполняться для произвольной
функции Ψ, мы, согласно 1◦ , приходим к операторному равенству 2 :

                                    [x, p̂x ] = i�.                          (2.17)

Операторное тождество (2.17) является одним из основных соотноше-
ний квантовой теории.
   Аналогичным образом можно показать, что

                         [x, p̂x ] = [y, p̂y ] = [z, p̂z ] = i�,

т. е. операторы декартовой координаты и одноименной проекции им-
пульса не коммутируют. Пары этих операторов называют также ка-
нонически сопряженными.                                       �

Пример 2.8. Вычислить коммутаторы: 1) [x, p̂ y ]; 2) [x, y]; 3) [p̂x , p̂y ].
Решение.
   1. Коммутатор [x, p̂y ] вычисляем по аналогии с предыдущим приме-
ром, однако, вследствие независимости переменных x и y,
                                       �       �
                            ∂               ∂
             p̂y xΨ = −i�      (xΨ) = x −i�      Ψ = xp̂y Ψ.
                            ∂y              ∂y

Таким образом, [x, p̂y ] = 0 (в смысле нулевого оператора).
      Данное утверждение можно обобщить: разноименные декартовы ко-
ординаты и проекции импульсов коммутируют.
      2. Оператор координаты является обычным числовым множителем.
Значение произведения чисел не зависит от порядка следования со-
множителей. Поэтому [x, y] = 0. Вообще, все декартовы координаты
коммутируют друг с другом.
      3. Произведение p̂x p̂y , в соответствии с определением 6◦ , с точ-
ностью до постоянного множителя является смешанной производ-
ной. Смешанные производные функций, удовлетворяющих стандарт-
ным условиям, не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому
[p̂x , p̂y ] = 0. Как и в случае с координатами, все декартовы компонен-
ты импульса коммутируют друг с другом.                                 �
  2 Строго говоря, в правой части (2.17) следовало бы, в соответствии с 1 ◦ , поста-
вить i�1̂, но, как правило, единичный оператор здесь не указывается.




                                          21