Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Вспоминая вид градиента в декартовом базисе, получаем:
[V (r),
ˆ
p] = i} grad V (r). (2.20)
Очевидно, соотношение (2.19) есть частный случай (2.20).
Пример 2.12. Вычислить коммутаторы [r,
ˆ
H], [
ˆ
p,
ˆ
H], предполагая
известными вид потенциальной энергии V (r) и массу частицы m.
Решение. Основываясь на данных таблицы 2.1 и результате приме-
ра 2.9, имеем:
[r,
ˆ
H] = [r,
ˆ
p
2
2m
+ V (r)]
(2.8)
=
1
2m
[r,
ˆ
p
2
] + [r, V (r)]
| {z }
0
=
i}
m
ˆ
p.
Второй коммутатор вычислим из соотношения (2.20):
[
ˆ
p,
ˆ
H]
(2.4)
= −[
ˆ
H,
ˆ
p] = −[
ˆ
p
2
2m
+ V (r),
ˆ
p]
(2.8)
= −
1
2m
[
ˆ
p
2
,
ˆ
p]
| {z }
0
−[V (r),
ˆ
p]
(2.20)
=
= −i} grad V (r).
Объясните, почему [r, V (r)] = 0, [
ˆ
p
2
,
ˆ
p] = 0.
Выпишем теперь результаты:
[r,
ˆ
H] =
i}
m
ˆ
p ;
(2.21)
[
ˆ
p,
ˆ
H] = −i} grad V (r). (2.22)
Данные тождества используются при выводе некоторых фундамен-
тальных соотношений квантовой теории.
Рассмотрим теперь оператор орбитального момента
ˆ
L, или момен-
та количества движения. Его декартовы компоненты выражаются че-
рез координату и проекцию импульса с помощью следующего соотно-
шения:
ˆ
L
k
=
X
l,m
ε
klm
x
l
ˆp
m
.
(2.23)
Здесь ε
klm
— символ Леви – Чивита. Его свойства собраны в приложе-
нии В.
Пример 2.13. Вычислить коммутатор [x
k
,
ˆ
L
l
].
23
Вспоминая вид градиента в декартовом базисе, получаем:

                           [V (r), p̂] = i� grad V (r).                      (2.20)

Очевидно, соотношение (2.19) есть частный случай (2.20).                            �

Пример 2.12. Вычислить коммутаторы [r, Ĥ], [p̂, Ĥ], предполагая
известными вид потенциальной энергии V (r) и массу частицы m.
Решение. Основываясь на данных таблицы 2.1 и результате приме-
ра 2.9, имеем:

                      p̂2         (2.8) 1                          i�
        [r, Ĥ] = [r,     + V (r)] =      [r, p̂2 ] + [r, V (r)] =    p̂.
                      2m               2m             � �� � m
                                                           0

Второй коммутатор вычислим из соотношения (2.20):

         (2.4)              p̂2             (2.8)  1                        (2.20)
  [p̂, Ĥ] = −[Ĥ, p̂] = −[     + V (r), p̂] = −     [p̂2 , p̂] −[V (r), p̂] =
                            2m                    2m � �� �
                                                            0
                                                                = −i� grad V (r).

Объясните, почему [r, V (r)] = 0, [p̂2 , p̂] = 0.
  Выпишем теперь результаты:

                                             i�
                                 [r, Ĥ] =      p̂ ;                         (2.21)
                                             m

                            [p̂, Ĥ] = −i� grad V (r).                       (2.22)
Данные тождества используются при выводе некоторых фундамен-
тальных соотношений квантовой теории.                     �
   Рассмотрим теперь оператор орбитального момента L̂, или момен-
та количества движения. Его декартовы компоненты выражаются че-
рез координату и проекцию импульса с помощью следующего соотно-
шения:
                              �
                        L̂k =   εklm xl p̂m .               (2.23)
                                    l,m

Здесь εklm — символ Леви – Чивита. Его свойства собраны в приложе-
нии В.
Пример 2.13. Вычислить коммутатор [x k , L̂l ].

                                       23

Страницы