Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Представим
ˆ
L
l
согласно (2.23):
[x
k
,
ˆ
L
l
]
(2.23)
= [x
k
,
X
m,n
ε
lmn
x
m
ˆp
n
]
(2.8)
=
X
m,n
ε
lmn
[x
k
, x
m
ˆp
n
]
(2.13)
=
=
X
m,n
ε
lmn
{[x
k
, x
m
]
|
{z }
0
ˆp
n
+ x
m
[x
k
, ˆp
n
]
|
{z }
i}δ
kn
} = i}
X
m
ε
lmk
x
m
= i}
X
m
ε
klm
x
m
.
На последнем шаге мы сделали циклическую перестановку индексов,
от которой значение символа Леви – Чивита не изменяется.
Приведем ответ:
[x
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
m
ε
klm
x
m
. (2.24)
Тождество (2.24) содержит в себе 9 тривиальных соотношений:
[x,
ˆ
L
x
] = 0; [y,
ˆ
L
y
] = 0; [y,
ˆ
L
y
] = 0;
[x,
ˆ
L
y
] = i} z; [y,
ˆ
L
z
] = i} x; [z,
ˆ
L
x
] = i} y;
[y,
ˆ
L
x
] = −i} z; [z,
ˆ
L
y
] = −i} x; [x,
ˆ
L
z
] = −i} y.
Легко видеть, что использование ε-символа делает формулы более ком-
пактными.
Таким образом, в отличие от импульса с координатой коммутиру-
ют одноименные проекции орбитального момента.
Пример 2.14. Вычислить коммутатор [ˆp
k
,
ˆ
L
l
].
Решение. В отличие от предыдущей задачи мы для большей наглядно-
сти не будем здесь использовать символ Леви – Чивита. Для опреде-
ленности вычислим коммутатор [ˆp
x
,
ˆ
L
x
]:
[ˆp
x
,
ˆ
L
x
]
(2.23)
= [ˆp
x
, yˆp
z
] − [ˆp
x
, z ˆp
y
]
(2.13)
=
= −[y, ˆp
x
]
|
{z}
0
ˆp
z
+ y [ˆp
x
, ˆp
z
]
|
{z }
0
+ [z, ˆp
x
]
|
{z}
0
ˆp
y
− z [ˆp
x
, ˆp
y
]
|
{z }
0
= 0.
Таким образом,
[ˆp
x
,
ˆ
L
x
] = 0. (2.25)
Такой же результат получается и при замене в (2.25) x → y, z (проверь-
те самостоятельно!), т. е. операторы одноименных проекций импульса
и орбитального момента всегда коммутируют.
24
Решение. Представим L̂l согласно (2.23):

            (2.23)        �                   (2.8)    �                        (2.13)
  [xk , L̂l ] = [xk ,           εlmn xm p̂n ] =               εlmn [xk , xm p̂n ] =
                          m,n                          m,n
     �                                                         �                   �
 =       εlmn {[xk , xm ] p̂n + xm [xk , p̂n ]} = i�                εlmk xm = i�           εklm xm .
     m,n
               � �� �              � �� �                       m                      m
                      0                   i�δkn

На последнем шаге мы сделали циклическую перестановку индексов,
от которой значение символа Леви – Чивита не изменяется.
   Приведем ответ:

                                                     �
                                  [xk , L̂l ] = i�        εklm xm .                             (2.24)
                                                      m


Тождество (2.24) содержит в себе 9 тривиальных соотношений:

     [x, L̂x ] = 0;                 [y, L̂y ] = 0;                    [y, L̂y ] = 0;
     [x, L̂y ] = i� z;              [y, L̂z ] = i� x;                 [z, L̂x ] = i� y;
     [y, L̂x ] = −i� z;             [z, L̂y ] = −i� x;                [x, L̂z ] = −i� y.

Легко видеть, что использование ε-символа делает формулы более ком-
пактными.
   Таким образом, в отличие от импульса с координатой коммутиру-
ют одноименные проекции орбитального момента.                    �

Пример 2.14. Вычислить коммутатор [p̂ k , L̂l ].
Решение. В отличие от предыдущей задачи мы для большей наглядно-
сти не будем здесь использовать символ Леви – Чивита. Для опреде-
ленности вычислим коммутатор [p̂x , L̂x ]:

            (2.23)                             (2.13)
  [p̂x , L̂x ] = [p̂x , y p̂z ] − [p̂x , z p̂y ] =
                           = − [y, p̂x ] p̂z + y [p̂x , p̂z ] + [z, p̂x ] p̂y − z [p̂x , p̂y ] = 0.
                               � �� �            � �� � � �� �                    � �� �
                                     0                    0           0                    0

Таким образом,
                                          [p̂x , L̂x ] = 0.                                     (2.25)
Такой же результат получается и при замене в (2.25) x → y, z (проверь-
те самостоятельно!), т. е. операторы одноименных проекций импульса
и орбитального момента всегда коммутируют.


                                                  24

Страницы