Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

= i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
X
s
ε
tks
ε
lσs
− i}
X
s τ
x
s
ˆp
τ
X
σ
ε
ksσ
ε
τlσ
(В.15)
=
= i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
(δ
tl
δ
kσ
− δ
tσ
δ
kl
) − i}
X
s τ
x
s
ˆp
τ
(δ
kτ
δ
sl
− δ
kl
δ
sτ
).
Переобозначим в последней сумме бегущие индексы s → σ, τ → t:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
σ t
x
σ
ˆp
t
(δ
lt
δ
kσ
− δ
lσ
δ
kt
)
(В.15)
= i}
X
σ t m
ε
lkm
ε
tσm
x
σ
ˆp
t
=
= i}
X
m
ε
klm
X
σ t
ε
mσt
x
σ
ˆp
t
|
{z }
ˆ
L
m
= i}
X
m
ε
klm
ˆ
L
m
.
При выполнении всех вычислений мы регулярно использовали переста-
новочные свойства символа Леви – Чивита. Выпишем теперь оконча-
тельный результат:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
m
ε
klm
ˆ
L
m
.
(2.29)
Тождество (2.29) состоит из трех тривиальных соотношений:
[
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i}
ˆ
L
z
; [
ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
] = i}
ˆ
L
x
; [
ˆ
L
z
,
ˆ
L
x
] = i}
ˆ
L
y
.
Их можно было бы получить и без использования символа Леви – Чи-
вита на основе тривиальных коммутационных соотношений, найденных
в предыдущих примерах.
Пример 2.16. Вычислить коммутатор [
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
].
Решение. Представим
ˆ
L
2
в декартовом базисе:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = [
ˆ
L
k
,
X
l
ˆ
L
2
l
]
(2.8)
=
X
l
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
ˆ
L
l
]
(2.13)
=
=
X
l
{[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]
ˆ
L
l
+
ˆ
L
l
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]}
(2.29)
= i}
X
l m
ε
klm
(
ˆ
L
m
ˆ
L
l
+
ˆ
L
l
ˆ
L
m
) =
= i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
m
ˆ
L
l
+ i}
X
l m
ε
klm
ˆ
L
l
ˆ
L
m
.
В последней сумме переобозначим бегущие индексы l m и восполь-
зуемся перестановочным свойством ε-символа:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = i}
X
l m
(ε
klm
+ ε
kml
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= i}
X
l m
(ε
klm
− ε
klm
)
ˆ
L
m
ˆ
L
l
= 0.
26
                     �              �                          �                 �                      (В.15)
              = i�         xσ p̂t           εtks εlσs − i�           xs p̂τ                εksσ ετ lσ    =
                      σt            s                          sτ                  σ
                       �                                                    �
                = i�            xσ p̂t (δtl δkσ − δtσ δkl ) − i�                       xs p̂τ (δkτ δsl − δkl δsτ ).
                           σt                                                 sτ

Переобозначим в последней сумме бегущие индексы s → σ, τ → t:
                      �                                          (В.15)          �
  [L̂k , L̂l ] = i�         xσ p̂t (δlt δkσ − δlσ δkt ) = i�                                εlkm εtσm xσ p̂t =
                      σt                                                         σtm
                                                      �             �                                   �
                                               = i�         εklm           εmσt xσ p̂t = i�                 εklm L̂m .
                                                      m             σt                                  m
                                                                    �         ��             �
                                                                              L̂m

При выполнении всех вычислений мы регулярно использовали переста-
новочные свойства символа Леви – Чивита. Выпишем теперь оконча-
тельный результат:

                                                            �
                                        [L̂k , L̂l ] = i�          εklm L̂m .                                     (2.29)
                                                             m

Тождество (2.29) состоит из трех тривиальных соотношений:
          [L̂x , L̂y ] = i�L̂z ;               [L̂y , L̂z ] = i�L̂x ;                  [L̂z , L̂x ] = i�L̂y .
Их можно было бы получить и без использования символа Леви – Чи-
вита на основе тривиальных коммутационных соотношений, найденных
в предыдущих примерах.                                         �
                                                                                       2
Пример 2.16. Вычислить коммутатор [ L̂k , L̂ ].
                                        2
Решение. Представим L̂ в декартовом базисе:
          2                �           (2.8)   �                        (2.13)
  [L̂k , L̂ ] = [L̂k ,           L̂2l ] =           [L̂k , L̂l L̂l ] =
                            l                   l
          �                                               (2.29)        �
      =        {[L̂k , L̂l ]L̂l + L̂l [L̂k , L̂l ]} = i�                      εklm (L̂m L̂l + L̂l L̂m ) =
           l                                                             lm
                                                               �                                  �
                                                      = i�           εklm L̂m L̂l + i�                   εklm L̂l L̂m .
                                                               lm                                  lm

В последней сумме переобозначим бегущие индексы l � m и восполь-
зуемся перестановочным свойством ε-символа:
            2       �                            �
   [L̂k , L̂ ] = i�   (εklm + εkml )L̂m L̂l = i�   (εklm − εklm )L̂m L̂l = 0.
                           lm                                            lm


                                                          26

Страницы