Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

[A(r),
ˆ
L] = i} r rotA(r);
[g(r),
ˆ
L
2
] = 0,
где f(r), g(r), A(r) — дифференцируемые функции координат.
2.4. Эрмитово сопряжение операторов
Оператор
ˆ
F
†
называется эрмитово сопряженным по отношению к
ˆ
F , если для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) выполняется равенство:
Z
Φ
∗
(ξ)
ˆ
F
†
Ψ(ξ) dξ
def
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Φ
∗
(ξ) dξ. (2.33)
Интегралы в (2.33) удобно записывать в дираковских обозначениях:
hΨ|
ˆ
F
†
|Φi
def
= hΦ|
ˆ
F |Ψi
∗
. (2.34)
Конструкция hΦ|
ˆ
F |Ψi называется матричным элементом оператора
ˆ
F между состояниями |Ψi и |Φi. «Обкладки» являются аналогом мат-
ричных индексов. Определение (2.34) соответствует определению эр-
митово сопряженной матрицы.
Если действие оператора на функцию сводится к ее умножению на
некоторую функцию c(ξ):
ˆ
F Ψ(ξ) = c(ξ)Ψ(ξ), то, как легко видеть из
определений,
c
†
(ξ) = c
∗
(ξ). (2.35)
Пример 2.17. Найти
∂
∂x
†
.
Решение. Воспользуемся определением (2.33) и преобразуем интеграл
интегрированием по частям:
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
∂
∂x
†
Ψ(x) dx
(2.33)
=
Z
+∞
−∞
Ψ(x)
∂Φ
∗
(x)
∂x
dx =
= Ψ(x)Φ
∗
(x)
+∞
−∞
−
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
∂
∂x
Ψ(x) dx.
Если предположить, что оператор
∂
∂x
задается на функциях, нор-
мированных на единицу, то разность на пределах обращается в нуль
28
                               [A(r), L̂] = i� r rotA(r);
                                         2
                               [g(r), L̂ ] = 0,

где f (r), g(r), A(r) — дифференцируемые функции координат.

2.4.       Эрмитово сопряжение операторов
     Оператор F̂ † называется эрмитово сопряженным по отношению к
F̂ , если для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) выполняется равенство:
                     �                                  �
                                                  def
                         Φ∗ (ξ)F̂ † Ψ(ξ) dξ =                Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ.   (2.33)


Интегралы в (2.33) удобно записывать в дираковских обозначениях :
                                                  def               ∗
                                 �Ψ| F̂ † |Φ� = �Φ| F̂ |Ψ� .                       (2.34)

Конструкция �Φ| F̂ |Ψ� называется матричным элементом оператора
F̂ между состояниями |Ψ� и |Φ�. «Обкладки» являются аналогом мат-
ричных индексов. Определение (2.34) соответствует определению эр-
митово сопряженной матрицы.
    Если действие оператора на функцию сводится к ее умножению на
некоторую функцию c(ξ): F̂ Ψ(ξ) = c(ξ)Ψ(ξ), то, как легко видеть из
определений,
                            c† (ξ) = c∗ (ξ).                  (2.35)
                                �        �†
                                    ∂
Пример 2.17. Найти                            .
                                    ∂x
Решение. Воспользуемся определением (2.33) и преобразуем интеграл
интегрированием по частям:
  �              �       �†                       �
       +∞
                   ∂                     (2.33)     ∂Φ∗ (x)
                                                        +∞
            Φ∗ (x)            Ψ(x) dx =        Ψ(x)         dx =
      −∞           ∂x                     −∞          ∂x
                                             �+∞ � +∞         � �
                                             �                   ∂
                                 = Ψ(x)Φ (x)��
                                        ∗
                                                 −       Φ (x)
                                                          ∗
                                                                   Ψ(x) dx.
                                              −∞    −∞          ∂x
                                     �                �
                                  ∂
Если предположить, что оператор        задается на функциях, нор-
                                  ∂x
мированных на единицу, то разность на пределах обращается в нуль



                                                  28

Страницы