Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:
ˆ
F
†
def
=
ˆ
F .
(2.38)
Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на ос-
нове (2.33), (2.38):
Z
Φ
∗
(ξ)
ˆ
F Ψ(ξ) dξ
def
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Φ
∗
(ξ) dξ, (2.39)
а также в дираковских обозначениях (2.34):
hΨ|
ˆ
F |Φi
def
= hΦ|
ˆ
F |Ψi
∗
. (2.40)
Определение (2.40) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
Введем также определение антиэрмитова оператора:
ˆ
F
†
def
= −
ˆ
F .
Пример 2.20. Доказать самосопряженность оператора проекции им-
пульса ˆp
x
.
Решение.
1 способ. Задачу можно решать по полной аналогии с примером 2.17,
т. е., исходя из определения (2.39), получать равенство:
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x) ˆp
x
Ψ(x) dx =
Z
+∞
−∞
Ψ(x) ˆp
∗
x
Φ
∗
(x) dx.
Мы рекомендуем выполнить все выкладки самостоятельно.
2 способ. Воспользуемся явным видом оператора проекции импульса
(2.15), а также уже доказанными свойствами (2.35)–(2.37) и определе-
нием в форме (2.38):
ˆp
†
x
(2.15)
=
−i}
∂
∂x
†
(2.37)
=
∂
∂x
†
(−i})
†
= −i}
∂
∂x
(2.15)
= ˆp
x
.
Мы доказали самосопряженность оператора проекции импульса.
Самосопряженность оператора координаты практически очевидна
(обоснуйте!).
30
   Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:

                                          def
                                      F̂ † = F̂ .                                   (2.38)

Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на ос-
нове (2.33), (2.38):
                    �                          �
                                        def
                        Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =
                          ∗
                                                   Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ,              (2.39)


а также в дираковских обозначениях (2.34):
                                        def                ∗
                              �Ψ| F̂ |Φ� = �Φ| F̂ |Ψ� .                             (2.40)

Определение (2.40) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
   Введем также определение антиэрмитова оператора:
                                         def
                                     F̂ † = −F̂ .

Пример 2.20. Доказать самосопряженность оператора проекции им-
пульса p̂x .
Решение.
    1 способ. Задачу можно решать по полной аналогии с примером 2.17,
т. е., исходя из определения (2.39), получать равенство:
             �   +∞                            �   +∞
                        Φ (x) p̂x Ψ(x) dx =
                         ∗
                                                        Ψ(x) p̂∗x Φ∗ (x) dx.
                 −∞                                −∞

Мы рекомендуем выполнить все выкладки самостоятельно.
    2 способ. Воспользуемся явным видом оператора проекции импульса
(2.15), а также уже доказанными свойствами (2.35)–(2.37) и определе-
нием в форме (2.38):
                    �       �†        � �†
           (2.15)        ∂     (2.37)  ∂                ∂                (2.15)
       p̂†x =        −i�         =         (−i�)† = −i�                   = p̂x .
                         ∂x            ∂x               ∂x

Мы доказали самосопряженность оператора проекции импульса.                              �
   Самосопряженность оператора координаты практически очевидна
(обоснуйте!).


                                          30

Страницы