Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 2.21. Доказать самосопряженность оператора орбитально-
го момента.
Решение.
1 способ. Докажем самосопряженность проекции орбитального мо-
мента на произвольное направление. Ориентируем ось Oz сферической
системы координат вдоль этого направления. В такой системе коорди-
нат вид оператора
ˆ
L
z
будет наиболее простым (2.31). Будем опираться
на определение в форме (2.39):
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
ˆ
L
z
Ψ(ϕ) dϕ
(2.31)
= −i}
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
∂Ψ(ϕ)
∂ϕ
dϕ =
= −i}
"
Φ
∗
(ϕ)Ψ(ϕ)
2π
0
−
Z
2π
0
Ψ(ϕ)
∂Φ
∗
(ϕ)
∂ϕ
dϕ
#
.
В примере 1.4 было показано, что волновая функция, зависящая от
полярного угла, для выполнения условия однозначности должна быть
2π-периодичной. Поэтому разность на пределах обращается в нуль. Из
этого следует самосопряженность
ˆ
L
z
:
Z
2π
0
Φ
∗
(ϕ)
ˆ
L
z
Ψ(ϕ) dϕ =
Z
2π
0
Ψ(ϕ)
ˆ
L
∗
z
Φ
∗
(ϕ) dϕ.
2 способ. Воспользуемся видом
ˆ
L в декартовых координатах (2.23),
принимая во внимание правило (2.37), самосопряженность координаты
и импульса, а также результат задачи 15:
ˆ
L
†
= [r ×
ˆ
p]
†
= −[
ˆ
p × r] =
ˆ
L.
Самосопряженность оператора орбитального момента доказана (объяс-
ните появление знака «минус»).
Пример 2.22. Доказать самосопряженность оператора инверсии.
Решение. Построим два интеграла и преобразуем их на основании опре-
деления оператора инверсии (таблица 2.1):
Z
Φ
∗
(r)
ˆ
IΨ(r) d
3
r =
Z
Φ
∗
(r)Ψ(−r) d
3
r;
Z
Ψ(r)[
ˆ
IΦ(r)]
∗
d
3
r =
Z
Ψ(r)Φ
∗
(−r) d
3
r = (r → r) =
Z
Φ
∗
(r)Ψ(−r) d
3
r.
Равенство этих интегралов позволяет на основании (2.33) сделать вы-
вод о самосопряженности оператора инверсии.
31
Пример 2.21. Доказать самосопряженность оператора орбитально-
го момента.
Решение.
   1 способ. Докажем самосопряженность проекции орбитального мо-
мента на произвольное направление. Ориентируем ось Oz сферической
системы координат вдоль этого направления. В такой системе коорди-
нат вид оператора L̂z будет наиболее простым (2.31). Будем опираться
на определение в форме (2.39):
  �       2π                        �   2π
                         (2.31)              ∂Ψ(ϕ)
           Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ = −i�
               ∗
                                             Φ∗ (ϕ)dϕ =
      0                           0           ∂ϕ
                              �           �2π � 2π                  �
                                          �              ∂Φ ∗
                                                              (ϕ)
                         = −i� Φ∗ (ϕ)Ψ(ϕ)�� −       Ψ(ϕ)          dϕ .
                                           0     0         ∂ϕ

В примере 1.4 было показано, что волновая функция, зависящая от
полярного угла, для выполнения условия однозначности должна быть
2π-периодичной. Поэтому разность на пределах обращается в нуль. Из
этого следует самосопряженность L̂z :
              � 2π                   � 2π
                  Φ (ϕ)L̂z Ψ(ϕ) dϕ =
                   ∗
                                         Ψ(ϕ)L̂∗z Φ∗ (ϕ) dϕ.
                   0                          0

   2 способ. Воспользуемся видом L̂ в декартовых координатах (2.23),
принимая во внимание правило (2.37), самосопряженность координаты
и импульса, а также результат задачи 15:
                         †
                       L̂ = [r × p̂]† = −[p̂ × r] = L̂.

Самосопряженность оператора орбитального момента доказана (объяс-
ните появление знака «минус»).                                 �

Пример 2.22. Доказать самосопряженность оператора инверсии.
Решение. Построим два интеграла и преобразуем их на основании опре-
деления оператора инверсии (таблица 2.1):
 �                   �
          ˆ
   Φ∗ (r)IΨ(r) d3 r = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r;
�                    �                           �
        ˆ
   Ψ(r)[IΦ(r)] d r = Ψ(r)Φ (−r) d r = (r → r) = Φ∗ (r)Ψ(−r) d3 r.
              ∗ 3           ∗      3



Равенство этих интегралов позволяет на основании (2.33) сделать вы-
вод о самосопряженности оператора инверсии.                      �

                                        31

Страницы