Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Легко установить самосопряженность суммы эрмитовых операторов
ˆ
F и
ˆ
G. С их произведением, однако, может возникнуть проблема: дело
в том, что в соответствии с правилом (2.37),
[
ˆ
F
ˆ
G]
†
=
ˆ
G
†
ˆ
F
†
=
ˆ
G
ˆ
F 6=
ˆ
F
ˆ
G.
Таким образом, произведение эрмитовых операторов будет эрмито-
вым только в случае их коммутации.
Из произведений двух эрмитовых операторов можно, тем не менее,
построить следующие эрмитовы комбинации: i[
ˆ
F ,
ˆ
G] и {
ˆ
F ,
ˆ
G} (убедить-
ся в их самосопряженности самостоятельно!).
Оператор
ˆ
U называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:
ˆ
U
−1
def
=
ˆ
U
†
.
(2.41)
Пример 2.23. Оператор сдвига определяется следующим образом:
ˆ
T
a
Ψ(x)
def
= Ψ(x − a),
(2.42)
где Ψ(x) — произвольная волновая функция. Найти аналитический
вид этого оператора и показать его унитарность.
Решение. Разложим правую часть (2.42) в ряд Тейлора по степеням
параметра сдвига a, предполагая
∂
0
Ψ(x)
∂x
0
≡ Ψ(x):
Ψ(x − a) =
∞
X
n=0
(−1)
n
a
n
n!
∂
n
Ψ(x)
∂x
n
=
∞
X
n=0
1
n!
−a
∂
∂x
n
Ψ(x)
(2.15)
=
=
"
∞
X
n=0
1
n!
−
i
}
aˆp
x
n
#
Ψ(x).
Если вспомнить разложение экспоненты в ряд Тейлора, то в соответ-
ствии с определением 9
◦
для оператора под знаком функции сумму
в квадратных скобках можно представить в виде exp
−
i
}
aˆp
x
. Если
теперь воспользуемся определением операторного равенства 1
◦
, то по-
лучим окончательный ответ:
ˆ
T
a
= exp
−
i
}
aˆp
x
.
(2.43)
Сопоставление (2.43) с (2.41) позволяет сделать вывод об унитарности
оператора сдвига.
32
    Легко установить самосопряженность суммы эрмитовых операторов
F̂ и Ĝ. С их произведением, однако, может возникнуть проблема: дело
в том, что в соответствии с правилом (2.37),
                      [F̂ Ĝ]† = Ĝ† F̂ † = ĜF̂ �= F̂ Ĝ.
Таким образом, произведение эрмитовых операторов будет эрмито-
вым только в случае их коммутации.
   Из произведений двух эрмитовых операторов можно, тем не менее,
построить следующие эрмитовы комбинации: i[ F̂ , Ĝ] и {F̂ , Ĝ} (убедить-
ся в их самосопряженности самостоятельно!).
   Оператор Û называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:
                                      def
                                Û −1 = Û † .                      (2.41)

Пример 2.23. Оператор сдвига определяется следующим образом:
                                    def
                          T̂a Ψ(x) = Ψ(x − a),                      (2.42)

где Ψ(x) — произвольная волновая функция. Найти аналитический
вид этого оператора и показать его унитарность.
Решение. Разложим правую часть (2.42) в ряд Тейлора по степеням
                                 ∂ 0 Ψ(x)
параметра сдвига a, предполагая           ≡ Ψ(x):
                                   ∂x0
             �∞                     �∞     �       �n
                      n a ∂ Ψ(x)        1
                         n n
                                                ∂          (2.15)
  Ψ(x − a) =     (−1)         n
                                 =           −a       Ψ(x)   =
             n=0
                        n! ∂x       n=0
                                        n!      ∂x
                                            �∞                �n �
                                              � 1� i
                                          =           − ap̂x       Ψ(x).
                                              n=0
                                                  n!   �
Если вспомнить разложение экспоненты в ряд Тейлора, то в соответ-
ствии с определением 9◦ для оператора под знаком функции
                                                   �        � сумму
                                                      i
в квадратных скобках можно представить в виде exp − ap̂x . Если
                                                      �
теперь воспользуемся определением операторного равенства 1 ◦ , то по-
лучим окончательный ответ:
                                 �      �
                                   i
                        T̂a = exp − ap̂x .                     (2.43)
                                   �

Сопоставление (2.43) с (2.41) позволяет сделать вывод об унитарности
оператора сдвига.                                                  �


                                      32

Страницы