Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

(поскольку такие функции на бесконечности обращаются в нуль). По-
этому
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
∂
∂x
†
Ψ(x) dx =
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
−
∂
∂x
Ψ(x) dx.
Данное равенство выполняется для произвольных функций Ψ и Φ, так
что имеет место операторное равенство:
∂
∂x
†
= −
∂
∂x
.
(2.36)
Таким образом, при эрмитовом сопряжении оператор производной ме-
няет знак.
Пример 2.18. Доказать, что (
ˆ
F
†
)
†
=
ˆ
F .
Решение. Воспользуемся определением эрмитова сопряжения в дира-
ковских обозначениях (2.34) дважды, а также свойством повторного
комплексного сопряжения [(z
∗
)
∗
= z]:
hΦ|(
ˆ
F
†
)
†
|Ψi
(2.34)
= hΨ|
ˆ
F
†
|Φi
∗
(2.34)
= hΦ|
ˆ
F |Ψi.
Произвольность в выборе функций в «обкладках» доказывает требуе-
мое утверждение.
Пример 2.19. Выразить (
ˆ
F
ˆ
G)
†
через
ˆ
F
†
и
ˆ
G
†
.
Решение. При действии оператора на функцию получается другая
функция. Поэтому, основываясь на определении (2.34), имеем:
hΦ|(
ˆ
F
ˆ
G)
†
|Ψi
(2.34)
= hΨ|(
ˆ
F
ˆ
G) |Φi
∗
= hΨ|
ˆ
F |
ˆ
GΦi
∗
(2.34)
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
|Ψi =
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
Ψi
(2.34)
= h
ˆ
F
†
Ψ |
ˆ
GΦi
∗
= h
ˆ
F
†
Ψ|
ˆ
G |Φi
∗
(2.34)
= hΦ|
ˆ
G
†
|
ˆ
F
†
Ψi =
= hΦ|
ˆ
G
†
ˆ
F
†
|Ψi.
Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:
(
ˆ
F
ˆ
G)
†
=
ˆ
G
†
ˆ
F
†
,
(2.37)
т. е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря-
док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол-
ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).
29
(поскольку такие функции на бесконечности обращаются в нуль). По-
этому
        �   +∞           �     �†                   �   +∞         �     �
                       ∂                                              ∂
                 Φ (x)
                  ∗
                                    Ψ(x) dx =                 Φ (x) −
                                                                ∗
                                                                          Ψ(x) dx.
            −∞         ∂x                               −∞            ∂x

Данное равенство выполняется для произвольных функций Ψ и Φ, так
что имеет место операторное равенство:
                                      �        �†
                                          ∂              ∂
                                                    =−      .                                 (2.36)
                                          ∂x             ∂x

Таким образом, при эрмитовом сопряжении оператор производной ме-
няет знак.                                                    �

Пример 2.18. Доказать, что (F̂ † )† = F̂ .
Решение. Воспользуемся определением эрмитова сопряжения в дира-
ковских обозначениях (2.34) дважды, а также свойством повторного
комплексного сопряжения [(z ∗ )∗ = z]:
                                    (2.34)                   ∗ (2.34)
                 �Φ| (F̂ † )† |Ψ� = �Ψ| F̂ † |Φ�                = �Φ| F̂ |Ψ� .

Произвольность в выборе функций в «обкладках» доказывает требуе-
мое утверждение.                                              �

Пример 2.19. Выразить (F̂ Ĝ)† через F̂ † и Ĝ† .
Решение. При действии оператора на функцию получается другая
функция. Поэтому, основываясь на определении (2.34), имеем:

                      (2.34)                   ∗                          (2.34)
  �Φ| (F̂ Ĝ)† |Ψ� = �Ψ| (F̂ Ĝ) |Φ� = �Ψ| F̂ | ĜΦ�∗ = �ĜΦ | F̂ † |Ψ� =
                      (2.34)                                            ∗ (2.34)
   = �ĜΦ | F̂ † Ψ� = �F̂ † Ψ | ĜΦ�∗ = �F̂ † Ψ| Ĝ |Φ�                    = �Φ| Ĝ† |F̂ † Ψ� =
                                                                               = �Φ| Ĝ† F̂ † |Ψ� .

Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:

                                      (F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † ,                                   (2.37)

т. е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря-
док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол-
ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).   �


                                                   29

Страницы