ВУЗ:
Составители:
(поскольку такие функции на бесконечности обращаются в нуль). По-
этому
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
∂
∂x
†
Ψ(x) dx =
Z
+∞
−∞
Φ
∗
(x)
−
∂
∂x
Ψ(x) dx.
Данное равенство выполняется для произвольных функций Ψ и Φ, так
что имеет место операторное равенство:
∂
∂x
†
= −
∂
∂x
.
(2.36)
Таким образом, при эрмитовом сопряжении оператор производной ме-
няет знак.
Пример 2.18. Доказать, что (
ˆ
F
†
)
†
=
ˆ
F .
Решение. Воспользуемся определением эрмитова сопряжения в дира-
ковских обозначениях (2.34) дважды, а также свойством повторного
комплексного сопряжения [(z
∗
)
∗
= z]:
hΦ|(
ˆ
F
†
)
†
|Ψi
(2.34)
= hΨ|
ˆ
F
†
|Φi
∗
(2.34)
= hΦ|
ˆ
F |Ψi.
Произвольность в выборе функций в «обкладках» доказывает требуе-
мое утверждение.
Пример 2.19. Выразить (
ˆ
F
ˆ
G)
†
через
ˆ
F
†
и
ˆ
G
†
.
Решение. При действии оператора на функцию получается другая
функция. Поэтому, основываясь на определении (2.34), имеем:
hΦ|(
ˆ
F
ˆ
G)
†
|Ψi
(2.34)
= hΨ|(
ˆ
F
ˆ
G) |Φi
∗
= hΨ|
ˆ
F |
ˆ
GΦi
∗
(2.34)
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
|Ψi =
= h
ˆ
GΦ |
ˆ
F
†
Ψi
(2.34)
= h
ˆ
F
†
Ψ |
ˆ
GΦi
∗
= h
ˆ
F
†
Ψ|
ˆ
G |Φi
∗
(2.34)
= hΦ|
ˆ
G
†
|
ˆ
F
†
Ψi =
= hΦ|
ˆ
G
†
ˆ
F
†
|Ψi.
Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение:
(
ˆ
F
ˆ
G)
†
=
ˆ
G
†
ˆ
F
†
,
(2.37)
т. е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря-
док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол-
ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12).
29
(поскольку такие функции на бесконечности обращаются в нуль). По- этому � +∞ � �† � +∞ � � ∂ ∂ Φ (x) ∗ Ψ(x) dx = Φ (x) − ∗ Ψ(x) dx. −∞ ∂x −∞ ∂x Данное равенство выполняется для произвольных функций Ψ и Φ, так что имеет место операторное равенство: � �† ∂ ∂ =− . (2.36) ∂x ∂x Таким образом, при эрмитовом сопряжении оператор производной ме- няет знак. � Пример 2.18. Доказать, что (F̂ † )† = F̂ . Решение. Воспользуемся определением эрмитова сопряжения в дира- ковских обозначениях (2.34) дважды, а также свойством повторного комплексного сопряжения [(z ∗ )∗ = z]: (2.34) ∗ (2.34) �Φ| (F̂ † )† |Ψ� = �Ψ| F̂ † |Φ� = �Φ| F̂ |Ψ� . Произвольность в выборе функций в «обкладках» доказывает требуе- мое утверждение. � Пример 2.19. Выразить (F̂ Ĝ)† через F̂ † и Ĝ† . Решение. При действии оператора на функцию получается другая функция. Поэтому, основываясь на определении (2.34), имеем: (2.34) ∗ (2.34) �Φ| (F̂ Ĝ)† |Ψ� = �Ψ| (F̂ Ĝ) |Φ� = �Ψ| F̂ | ĜΦ�∗ = �ĜΦ | F̂ † |Ψ� = (2.34) ∗ (2.34) = �ĜΦ | F̂ † Ψ� = �F̂ † Ψ | ĜΦ�∗ = �F̂ † Ψ| Ĝ |Φ� = �Φ| Ĝ† |F̂ † Ψ� = = �Φ| Ĝ† F̂ † |Ψ� . Таким образом, мы получаем важное операторное соотношение: (F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † , (2.37) т. е. эрмитово сопряжение произведения операторов изменяет поря- док следования сомножителей на противоположный. Ситуация пол- ностью аналогична обращению произведения операторов (2.12). � 29
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »