Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю-
бой его проекцией:
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
2
] = 0. (2.30)
Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента.
Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать
предельный переход } → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой
результат не противоречит классической механике.
Задачи для самостоятельного решения
12. Раскрыть скобки:
x
x
0
−
ˆp
x
p
0
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
2
;
x
x
0
+
ˆp
x
p
0
3
.
Здесь x
0
, p
0
— константы с размерностью координаты и импульса со-
ответственно.
13. Вычислить коммутаторы: [r, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p, r
2
]; [r
2
, (r
ˆ
p)]; [
ˆ
p
2
, (r
ˆ
p)];
[r
2
,
ˆ
H]; [
ˆ
p
2
,
ˆ
H]; [(r
ˆ
p),
ˆ
H].
14. Доказать тождество:
[A(r),
ˆ
p] = i} divA(r),
где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.
15. Доказать, что [
ˆ
p × r] = −
ˆ
L.
16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви –
Чивита.
17. Записать операторы
ˆ
L
z
и
ˆ
L
2
в сферических координатах.
(Ответ:
ˆ
L
z
= −i}
∂
∂ϕ
; (2.31)
ˆ
L
2
= −}
2
∇
2
θϕ
= −}
2
1
sin θ
∂
∂θ
sin θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
.) (2.32)
18. Вычислить коммутаторы: [
ˆ
L, r
2
]; [
ˆ
L,
ˆ
p
2
]; [
ˆ
L, (r
ˆ
p)].
19. Доказать тождества:
[f(r),
ˆ
L] = i} [r × gradf(r)];
27
Таким образом, квадрат орбитального момента коммутирует с лю-
бой его проекцией:
                                           2
                                    [L̂k , L̂ ] = 0.                                       (2.30)
Тождества (2.29) и (2.30) очень важны в теории углового момента. �
   Если во всех полученных в данном разделе коммутаторах сделать
предельный переход � → 0, то все коммутаторы обратятся в нуль. Такой
результат не противоречит классической механике.

Задачи для самостоятельного решения

12. Раскрыть скобки:
        �          ��          �           �              �2       �              �3
          x    p̂x    x    p̂x                 x    p̂x                x    p̂x
             −           +      ;                 +            ;          +            .
          x0   p0     x0   p0                  x0   p0                 x0   p0
Здесь x0 , p0 — константы с размерностью координаты и импульса со-
ответственно.
13. Вычислить коммутаторы: [r, (r p̂)]; [p̂, r 2 ]; [r 2 , (rp̂)]; [p̂2 , (rp̂)];
[r 2 , Ĥ]; [p̂2 , Ĥ]; [(rp̂), Ĥ].
14. Доказать тождество:
                            [A(r), p̂] = i� divA(r),
где A(r) — дифференцируемая векторная функция координат.
15. Доказать, что [p̂ × r] = −L̂.
16. Доказать соотношения (2.29) без использования символа Леви –
Чивита.
                                       2
17. Записать операторы L̂z и L̂ в сферических координатах.
(Ответ:
                  ∂
     L̂z = −i�      ;                                                                      (2.31)
                 ∂ϕ
                              �            �         �              �
       2                            1 ∂           ∂        1     ∂2
     L̂ = −�2 ∇2θϕ = −�2                    sin θ      +             .)                    (2.32)
                                  sin θ ∂θ        ∂θ     sin2 θ ∂ϕ2

18. Вычислить коммутаторы: [L̂, r 2 ]; [L̂, p̂2 ]; [L̂, (rp̂)].
19. Доказать тождества:
                         [f (r), L̂] = i� [r × gradf (r)];

                                           27

Страницы