Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Аналогичным образом вычислим следующие коммутаторы:
[ˆp
x
,
ˆ
L
y
]
(2.23)
= [ˆp
x
, z ˆp
x
] − [ˆp
x
, xˆp
z
]
(2.13)
=
= −[z, ˆp
x
]
|
{z}
0
ˆp
x
+ z [ˆp
x
, ˆp
x
]
|
{z }
0
+ [x, ˆp
x
]
|
{z}
i}
ˆp
z
− x [ˆp
x
, ˆp
z
]
|
{z }
0
= i} ˆp
z
.
и
[ˆp
y
,
ˆ
L
x
]
(2.23)
= [ˆp
y
, yˆp
z
] − [ˆp
y
, z ˆp
y
]
(2.13)
=
= −[y, ˆp
y
]
|
{z}
i}
ˆp
z
+ z [ˆp
y
, ˆp
z
]
|
{z }
0
+ [z, ˆp
y
]
|
{z }
0
ˆp
y
− z [ˆp
y
, ˆp
y
]
|
{z }
0
= −i} ˆp
z
.
Таким образом,
[ˆp
x
,
ˆ
L
y
] = i} ˆp
z
;
[ˆp
y
,
ˆ
L
x
] = −i} ˆp
z
.
)
(2.26)
Непосредственной проверкой (выполнить ее самостоятельно!) можно
убедиться, что структура выражений (2.26) не меняется при произ-
вольной циклической перестановке индексов x, y и z, т. е. операторы
разноименных проекций импульса и орбитального момента не комму-
тируют.
Упомянутая симметрия выражений (2.25) и (2.25) позволяет их объ-
единить с использованием символа Леви – Чивита (проверить самосто-
ятельно!):
[ˆp
k
,
ˆ
L
l
] = i}
X
m
ε
klm
ˆp
m
. (2.27)
Данное соотношение полностью аналогично свойству (2.24) с заменой
x
k
→ ˆp
k
.
Пример 2.15. Вычислить коммутатор [
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
].
Решение. Предлагаем вначале самостоятельно получить следующее
вспомогательное тождество:
[x
s
ˆp
t
, x
σ
ˆp
τ
] = i} δ
τs
x
σ
ˆp
t
− i} δ
σt
x
s
ˆp
τ
. (2.28)
Подставим теперь в коммутатор операторы проекций в виде (2.23):
[
ˆ
L
k
,
ˆ
L
l
]
(2.23)
= [
X
s t
ε
kst
x
s
ˆp
t
,
X
σ τ
ε
lστ
x
σ
ˆp
τ
]
(2.8)
=
X
s σ
t τ
ε
kst
ε
lστ
[x
s
ˆp
t
, x
σ
ˆp
τ
]
(2.28)
=
25
     Аналогичным образом вычислим следующие коммутаторы:

              (2.23)                                   (2.13)
    [p̂x , L̂y ] = [p̂x , z p̂x ] − [p̂x , xp̂z ] =
                        = − [z, p̂x ] p̂x + z [p̂x , p̂x ] + [x, p̂x ] p̂z − x [p̂x , p̂z ] = i� p̂z .
                            � �� �            � �� � � �� �                    � �� �
                                     0                       0            i�                  0

и

              (2.23)                                  (2.13)
    [p̂y , L̂x ] = [p̂y , y p̂z ] − [p̂y , z p̂y ] =
                       = − [y, p̂y ] p̂z + z [p̂y , p̂z ] + [z, p̂y ] p̂y − z [p̂y , p̂y ] = −i� p̂z .
                           � �� �            � �� � � �� �                    � �� �
                                i�                      0             0                   0

Таким образом,                                                         �
                                            [p̂x , L̂y ] = i� p̂z ;
                                                                                                       (2.26)
                                            [p̂y , L̂x ] = −i� p̂z .
Непосредственной проверкой (выполнить ее самостоятельно!) можно
убедиться, что структура выражений (2.26) не меняется при произ-
вольной циклической перестановке индексов x, y и z, т. е. операторы
разноименных проекций импульса и орбитального момента не комму-
тируют.
   Упомянутая симметрия выражений (2.25) и (2.25) позволяет их объ-
единить с использованием символа Леви – Чивита (проверить самосто-
ятельно!):
                                                             �
                                         [p̂k , L̂l ] = i�       εklm p̂m .                            (2.27)
                                                             m

Данное соотношение полностью аналогично свойству (2.24) с заменой
xk → p̂k .                                                      �

Пример 2.15. Вычислить коммутатор [ L̂k , L̂l ].
Решение. Предлагаем вначале самостоятельно получить следующее
вспомогательное тождество:

                          [xs p̂t , xσ p̂τ ] = i� δτ s xσ p̂t − i� δσt xs p̂τ .                        (2.28)

Подставим теперь в коммутатор операторы проекций в виде (2.23):

              (2.23)   �                      �                   (2.8)   �                              (2.28)
    [L̂k , L̂l ] = [        εkst xs p̂t ,          εlστ xσ p̂τ ] =              εkst εlστ [xs p̂t , xσ p̂τ ] =
                       st                     στ                           sσ
                                                                           tτ




                                                        25

Страницы