Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Обобщим теперь результаты предыдущих двух примеров, введя обо-
значения x
1
≡ x, x
2
≡ y, x
3
≡ z; ˆp
x
≡ ˆp
1
, . . . :
[x
k
, ˆp
l
] = i}δ
kl
; [x
k
, x
l
] = 0; [ˆp
k
, ˆp
l
] = 0. (2.18)
Пример 2.9. Вычислить коммутатор [r,
ˆ
p
2
].
Решение. Вначале запишем коммутатор в декартовых компонентах, за-
тем воспользуемся свойством билинейности (2.8). Упростим получив-
шиеся коммутаторы по правилу (2.13), оставшиеся коммутаторы вы-
числим в соответствии с (2.18):
[r,
ˆ
p
2
] = [
X
k
e
k
x
k
,
X
l
ˆp
l
ˆp
l
]
(2.8)
=
X
k,l
e
k
[x
k
, ˆp
l
ˆp
l
]
(2.13)
=
=
X
k,l
e
k
{[x
k
, ˆp
l
]ˆp
l
+ ˆp
l
[x
k
, ˆp
l
]}
(2.18)
= 2i}
X
k,l
e
k
δ
kl
ˆp
l
= 2i}
ˆ
p.
Данный пример наглядно демонстрирует использование правила
«упрощения» (2.13).
Пример 2.10. Вычислить коммутатор [f(x), ˆp
x
], где f (x) — диффе-
ренцируемая функция координат.
Решение. Решение полностью аналогично примеру 2.7, с той лишь раз-
ницей, что множитель x заменяется на f(x):
ˆp
x
f(x)Ψ = −i}
∂
∂x
{f(x)Ψ} = −i}
∂f
∂x
Ψ −i}f
∂Ψ
∂x
.
В конечном итоге получаем соотношение
[f(x), ˆp
x
] = i}
∂f(x)
∂x
,
(2.19)
обобщающее (2.17).
Пример 2.11. Вычислить коммутатор [V (r),
ˆ
p], где V (r) — диффе-
ренцируемая скалярная функция координат.
Решение. Запишем вначале все векторные операторы в декартовом ба-
зисе:
[V (r),
ˆ
p] = [V (r),
X
k
e
k
ˆp
k
]
(2.8)
=
X
k
e
k
[V (r), ˆp
k
]
(2.19)
= i}
X
k
e
k
∂V
∂x
k
.
22
   Обобщим теперь результаты предыдущих двух примеров, введя обо-
значения x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z; p̂x ≡ p̂1 , . . . :

                  [xk , p̂l ] = i�δkl ;            [xk , xl ] = 0;          [p̂k , p̂l ] = 0.          (2.18)


Пример 2.9. Вычислить коммутатор [r, p̂2 ].
Решение. Вначале запишем коммутатор в декартовых компонентах, за-
тем воспользуемся свойством билинейности (2.8). Упростим получив-
шиеся коммутаторы по правилу (2.13), оставшиеся коммутаторы вы-
числим в соответствии с (2.18):
                  �             �           (2.8)   �                       (2.13)
  [r, p̂2 ] = [       ek xk ,        p̂l p̂l ] =           ek [xk , p̂l p̂l ] =
                  k              l                   k,l
                      �                                            (2.18)         �
                  =          ek {[xk , p̂l ]p̂l + p̂l [xk , p̂l ]} = 2i�                ek δkl p̂l = 2i�p̂.
                       k,l                                                        k,l

Данный пример наглядно демонстрирует использование правила
«упрощения» (2.13).                                      �

Пример 2.10. Вычислить коммутатор [f (x), p̂ x ], где f (x) — диффе-
ренцируемая функция координат.
Решение. Решение полностью аналогично примеру 2.7, с той лишь раз-
ницей, что множитель x заменяется на f (x):

                                        ∂                 ∂f         ∂Ψ
              p̂x f (x)Ψ = −i�             {f (x)Ψ} = −i�    Ψ − i�f    .
                                        ∂x                ∂x         ∂x
В конечном итоге получаем соотношение

                                                              ∂f (x)
                                      [f (x), p̂x ] = i�             ,                                 (2.19)
                                                               ∂x

обобщающее (2.17).                                                                                            �

Пример 2.11. Вычислить коммутатор [V (r), p̂], где V (r) — диффе-
ренцируемая скалярная функция координат.
Решение. Запишем вначале все векторные операторы в декартовом ба-
зисе:
                                �            (2.8)    �                        (2.19)      �         ∂V
   [V (r), p̂] = [V (r),             ek p̂k ] =             ek [V (r), p̂k ] = i�               ek       .
                                                                                                     ∂xk
                                 k                     k                                    k



                                                      22

Страницы