Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4.1. Построить гамильтониан атома водорода. Массы ядра
и электрона — M и m соответственно, элементарный заряд e и за-
рядовое число ядра Z предполагаются известными. Ядро и электрон
предполагаются точечными.
Решение. Система содержит две частицы, поэтому гамильтониан будет
действовать на две векторные координаты: электронную r и ядерную
R. Условимся обозначать переменную дифференцирования индексом у
оператора «набла». В соответствии с (4.3)
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
r
−
}
2
2M
∇
2
R
−
Ze
2
|r − R|
.
Между электроном и ядром действует кулоновское притяжение, поэто-
му последнее слагаемое входит со знаком «минус».
Пример 4.2. Построить гамильтониан молекулы водорода. Массы
каждого протона и электрона — M и m соответственно, элемен-
тарный заряд e предполагается известным. Протоны и электроны
предполагаются точечными.
Решение. Система содержит четыре частицы, поэтому гамильтониан
будет действовать на четыре векторные координаты: электронные r
1
,
r
2
и ядерные R
1
, R
2
. В молекуле водорода присутствуют шесть ку-
лоновских взаимодействий: отталкивающие взаимодействия электрон–
электрон и протон–протон и четыре притягивающих взаимодействия
электрон–протон. Таким образом, гамильтониан содержит десять сла-
гаемых:
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
r
1
−
}
2
2m
∇
2
r
2
−
}
2
2M
∇
2
R
1
−
}
2
2M
∇
2
R
2
+
+
e
2
|r
1
− r
2
|
+
e
2
|R
1
− R
2
|
−
−
e
2
|r
1
− R
1
|
−
e
2
|r
2
− R
2
|
−
e
2
|r
1
− R
2
|
−
e
2
|r
2
− R
1
|
.
Массы обоих электронов и протонов предполагаются одинаковыми и
поэтому не нумеруются.
4.2. Плотность потока вероятности
На основании самосопряженности гамильтониана можно показать,
что плотность вероятности (1.3) в трехмерном случае удовлетворяет
47
Пример 4.1. Построить гамильтониан атома водорода. Массы ядра
и электрона — M и m соответственно, элементарный заряд e и за-
рядовое число ядра Z предполагаются известными. Ядро и электрон
предполагаются точечными.
Решение. Система содержит две частицы, поэтому гамильтониан будет
действовать на две векторные координаты: электронную r и ядерную
R. Условимся обозначать переменную дифференцирования индексом у
оператора «набла». В соответствии с (4.3)

                        �2 2  �2 2  Ze2
                 Ĥ = −   ∇ −   ∇ −       .
                        2m r 2M R |r − R|

Между электроном и ядром действует кулоновское притяжение, поэто-
му последнее слагаемое входит со знаком «минус».               �

Пример 4.2. Построить гамильтониан молекулы водорода. Массы
каждого протона и электрона — M и m соответственно, элемен-
тарный заряд e предполагается известным. Протоны и электроны
предполагаются точечными.
Решение. Система содержит четыре частицы, поэтому гамильтониан
будет действовать на четыре векторные координаты: электронные r 1 ,
r 2 и ядерные R1 , R2 . В молекуле водорода присутствуют шесть ку-
лоновских взаимодействий: отталкивающие взаимодействия электрон–
электрон и протон–протон и четыре притягивающих взаимодействия
электрон–протон. Таким образом, гамильтониан содержит десять сла-
гаемых:

         �2 2  �2 2          �2 2       �2 2
  Ĥ = −   ∇ −    ∇ −            ∇ −      ∇ +
         2m r1 2m r2 2M R1 2M R2
                           e2          e2
                   +              +           −
                      |r 1 − r 2 | |R1 − R2 |
                       e2           e2          e2         e2
                −              −          −          −            .
                  |r 1 − R1 | |r 2 − R2 | |r 1 − R2 | |r 2 − R1 |

Массы обоих электронов и протонов предполагаются одинаковыми и
поэтому не нумеруются.                                       �


4.2.   Плотность потока вероятности
   На основании самосопряженности гамильтониана можно показать,
что плотность вероятности (1.3) в трехмерном случае удовлетворяет


                                 47

Страницы