Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Глава 4.
Гамильтониан
4.1. Временное уравнение Шредингера
Волновая функция реальной физической системы в общем случае
находится из решения временн´ого уравнения Шредингера:
i}
∂Ψ
∂t
=
ˆ
HΨ,
(4.1)
где
ˆ
H — гамильтониан системы. Подобно уравнениям Ньютона в клас-
сической механике, а также уравнениям Максвелла в электродинами-
ке, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Критерием
правильности данного уравнения является совпадение вытекающих из
него фактов с экспериментальными данными.
Для одной частицы, движущейся в поле с заданной потенциальной
функцией V (r, t), гамильтониан
ˆ
H =
ˆp
2
2m
+ V (r, t),
так что уравнение (4.1) принимает вид:
i}
∂
∂t
Ψ(r, t) =
−
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t)
Ψ(r, t).
(4.2)
Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий.
Гамильтониан многочастичной системы строится следующим обра-
зом: вначале записываются операторы кинетических и потенциальных
энергий всех частиц, а также их потенциальных функций, а затем они
суммируются. В частности, для системы N взаимодействующих частиц
массами m
i
во внешних полях V
i
(r, t) гамильтониан имеет вид:
ˆ
H =
N
X
i=1
"
ˆ
p
2
i
2m
i
+ V
i
(r
i
, t)
#
+
1
2
N
X
i,j=1
Φ
ij
(r
ij
), (4.3)
где Φ
ij
(r
ij
) — потенциальная энергия взаимодействия i-й и j-й частиц
(r
ij
= |r
i
− r
j
|). Выражение (4.3) мы будем использовать при построе-
нии гамильтонианов простейших систем.
46
Глава 4.

Гамильтониан

4.1.   Временное уравнение Шредингера
   Волновая функция реальной физической системы в общем случае
находится из решения временно́го уравнения Шредингера:
                                   ∂Ψ
                              i�      = ĤΨ,                         (4.1)
                                   ∂t

где Ĥ — гамильтониан системы. Подобно уравнениям Ньютона в клас-
сической механике, а также уравнениям Максвелла в электродинами-
ке, уравнение Шредингера не выводится, а постулируется. Критерием
правильности данного уравнения является совпадение вытекающих из
него фактов с экспериментальными данными.
    Для одной частицы, движущейся в поле с заданной потенциальной
функцией V (r, t), гамильтониан
                                p̂2
                           Ĥ =     + V (r, t),
                                2m
так что уравнение (4.1) принимает вид:
                              �                 �
                ∂                �2 2
             i�    Ψ(r, t) = −      ∇ + V (r, t) Ψ(r, t).            (4.2)
                ∂t               2m

Граничные условия к нему вытекают из стандартных условий.
   Гамильтониан многочастичной системы строится следующим обра-
зом: вначале записываются операторы кинетических и потенциальных
энергий всех частиц, а также их потенциальных функций, а затем они
суммируются. В частности, для системы N взаимодействующих частиц
массами mi во внешних полях Vi (r, t) гамильтониан имеет вид:
                    N
                       �                      �      N
                   �        2
                          p̂i                    1 �
              Ĥ =              + Vi (r i , t) +         Φij (rij ), (4.3)
                   i=1
                         2m   i                  2 i,j=1

где Φij (rij ) — потенциальная энергия взаимодействия i-й и j-й частиц
(rij = |r i − r j |). Выражение (4.3) мы будем использовать при построе-
нии гамильтонианов простейших систем.

                                     46

Страницы