Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

будут сравнимы со средними значениями физических величин. Поэто-
му соотношение неопределенностей удобно использовать для оценки
различных физических величин в квантовых системах.
Пример 3.10. Частица массы m совершает одномерное финитное
движение вдоль отрезка длиной a. Оценить наименьшую энергию ча-
стицы.
Решение. Если считать, что неопределенность координаты порядка
длины отрезка, то, вспоминая нерелятивистскую связь между энергией
и импульсом, получаем E
min
& }
2
/(ma
2
).
Задачи для самостоятельного решения
27. Частица приведена в состояние с волновой функцией
Ψ(x) =
A sin
πnx
a
при 0 6 x 6 a;
0 при x < 0 или x > a,
где n = 1, 2, . . . Вычислить hxi, h(∆x)
2
i, hp
x
i, h(∆p
x
)
2
i.
(Ответ: a/2,
a
2
2
1
6
−
1
π
2
n
2
, 0,
πn}
a
2
соответственно.)
28. Показать, что функция Ψ(x) = xe
−x
2
/2
является собственной функ-
цией оператора
ˆ
F =
d
2
dx
2
− x
2
, и найти соответствующее собственное
значение.
29. Показать, что функция Ψ(θ) = cos θ является собственной функци-
ей оператора
ˆ
F = −
1
sin θ
d
dθ
sin θ
d
dθ
, и найти соответствующее соб-
ственное значение.
30. Показать, что функция Ψ(θ, ϕ) = sin θ e
±iϕ
является собственной
функцией оператора L
2
[см. (2.32)], и найти соответствующее собствен-
ное значение.
31. Показать, что функция Ψ(ξ) =
sin ξ
ξ
является собственной функ-
цией оператора
ˆ
F =
d
2
dξ
2
+
2
ξ
d
dξ
, и найти соответствующее собственное
значение.
32. Показать, что функция Ψ(ρ) = e
−ρ/3
ρ
3
является собственной функ-
цией оператора
ˆ
F =
d
2
dρ
2
+
2
ρ
−
6
ρ
2
, и найти соответствующее собственное
значение.
44
будут сравнимы со средними значениями физических величин. Поэто-
му соотношение неопределенностей удобно использовать для оценки
различных физических величин в квантовых системах.
Пример 3.10. Частица массы m совершает одномерное финитное
движение вдоль отрезка длиной a. Оценить наименьшую энергию ча-
стицы.
Решение. Если считать, что неопределенность координаты порядка
длины отрезка, то, вспоминая нерелятивистскую связь между энергией
и импульсом, получаем Emin � �2 /(ma2 ).                         �


Задачи для самостоятельного решения

27. Частица приведена в состояние с волновой функцией
                    
                    A sin πnx при 0 � x � a;
             Ψ(x) =          a
                    0           при x < 0 или x > a,

где n = 1, 2, . . . Вычислить �x�, �(Δx)2 �, �px �, �(Δpx )2 �.
                    2 �      �    �    �2
(Ответ: a/2, a2 16 − π21n2 , 0, πn�  a    соответственно.)
                                             2
28. Показать, что функция Ψ(x) = xe −x /2 является собственной функ-
                      d2
цией оператора F̂ =       − x2 , и найти соответствующее собственное
                     dx 2
значение.
29. Показать, что функция Ψ(θ)
                             � = cos�θ является собственной функци-
                      1 d           d
ей оператора F̂ = −           sin θ    , и найти соответствующее соб-
                    sin θ dθ        dθ
ственное значение.
30. Показать, что функция Ψ(θ, ϕ) = sin θ e ±iϕ является собственной
функцией оператора L2 [см. (2.32)], и найти соответствующее собствен-
ное значение.
                                     sin ξ
31. Показать, что функция Ψ(ξ) =           является собственной функ-
                                       ξ
                    d2   2 d
цией оператора F̂ = 2 +        , и найти соответствующее собственное
                   dξ    ξ dξ
значение.
32. Показать, что функция Ψ(ρ) = e −ρ/3 ρ3 является собственной функ-
                    d2 2 6
цией оператора F̂ = 2 + − 2 , и найти соответствующее собственное
                    dρ  ρ ρ
значение.

                                       44

Страницы