Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

необходимым и достаточным условием существования у линейных
4
операторов общих собственных функций является коммутация дан-
ных операторов.
У операторов неизмеримых совместно величин, естественно, общих
собственных функций нет. При совместном измерении таких величин в
произвольном состоянии всегда наблюдается разброс наблюдаемых зна-
чений. Величина этого разброса, характеризуемая среднеквадратичны-
ми отклонениями, удовлетворяет неравенству
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
1
4
hBi
2
, (3.21)
называемому соотношением неопределенностей Гейзенберга. Здесь
ˆ
B — самосопряженный оператор (см. задачу 21), определяемый из со-
отношения:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
B. (3.22)
Все усреднения в (3.21) производятся в одном и том же состоянии.
Пример 3.9. Записать соотношение неопределенностей для декарто-
вой координаты и соответствующей проекции импульса.
Решение. Соответствующее соотношение неопределенностей может
быть получено с использованием выражения (2.17), которое по фор-
ме соответствует (3.22). Поэтому достаточно сделать в (3.21) замены:
F → x, G → p
x
, B → }:
h(∆x)
2
ih(∆p
x
)
2
i >
1
4
}
2
.
(3.23)
Проанализируем соотношение (3.23). Зададимся целью неограничен-
ного снижения неопределенности, скажем, координаты. Будем для это-
го подбирать соответствующие состояния. При этом в силу ненулевой
правой части (3.23) неопределенность импульса обязана неограниченно
возрастать.
Исследуем теперь соотношение (3.23) для макромира. Рассмотрим,
например, движение тела массой 1 кг со скоростью 1 м/с. Пусть прием-
лемой погрешностью в определении скорости будет 0,001 м/с. Оценим
с помощью соотношения неопределенностей (3.23) предельно достижи-
мую точность в определении координаты. Она оказывается порядка
5·10
−32
м, что много меньше размеров атомного ядра.
Таким образом, в макромире соотношение неопределенностей прак-
тически не сказывается. Можно сказать, что физическая система бу-
дет микрообъектом, если в соотношении Гейзенберга неопределенности
4
Самосопряженность здесь не требуется!
43
необходимым и достаточным условием существования у линейных 4
операторов общих собственных функций является коммутация дан-
ных операторов.
   У операторов неизмеримых совместно величин, естественно, общих
собственных функций нет. При совместном измерении таких величин в
произвольном состоянии всегда наблюдается разброс наблюдаемых зна-
чений. Величина этого разброса, характеризуемая среднеквадратичны-
ми отклонениями, удовлетворяет неравенству
                                                1
                          �(ΔF )2 ��(ΔG)2 � �     �B�2 ,      (3.21)
                                                4
называемому соотношением неопределенностей Гейзенберга. Здесь
B̂ — самосопряженный оператор (см. задачу 21), определяемый из со-
отношения:
                          [F̂ , Ĝ] = iB̂.                  (3.22)
Все усреднения в (3.21) производятся в одном и том же состоянии.
Пример 3.9. Записать соотношение неопределенностей для декарто-
вой координаты и соответствующей проекции импульса.
Решение. Соответствующее соотношение неопределенностей может
быть получено с использованием выражения (2.17), которое по фор-
ме соответствует (3.22). Поэтому достаточно сделать в (3.21) замены:
F → x, G → px , B → �:

                                                  1 2
                           �(Δx)2 ��(Δpx )2 � �     � .       (3.23)
                                                  4

   Проанализируем соотношение (3.23). Зададимся целью неограничен-
ного снижения неопределенности, скажем, координаты. Будем для это-
го подбирать соответствующие состояния. При этом в силу ненулевой
правой части (3.23) неопределенность импульса обязана неограниченно
возрастать.
   Исследуем теперь соотношение (3.23) для макромира. Рассмотрим,
например, движение тела массой 1 кг со скоростью 1 м/с. Пусть прием-
лемой погрешностью в определении скорости будет 0,001 м/с. Оценим
с помощью соотношения неопределенностей (3.23) предельно достижи-
мую точность в определении координаты. Она оказывается порядка
5·10−32 м, что много меньше размеров атомного ядра.               �
   Таким образом, в макромире соотношение неопределенностей прак-
тически не сказывается. Можно сказать, что физическая система бу-
дет микрообъектом, если в соотношении Гейзенберга неопределенности
  4   Самосопряженность здесь не требуется!


                                       43

Страницы