Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что собствен-
ные функции не изменятся, а собственные значения возведутся в квад-
рат.
Следствие 1. Если невырожденные собственные значения операто-
ра
ˆ
F располагаются симметрично относительно нуля, то собственные
значения
ˆ
F
2
будут двукратно вырождены.
Следствие 2. Если функция f(z) допускает разложения в ряд Тей-
лора, а у оператора
ˆ
F известны базис и спектр, то
f(
ˆ
F )Ψ
n
(ξ) = f(F
n
)Ψ
n
(ξ). (3.15)
Проясним теперь смысл коэффициентов разложения произвольной
функции Φ(ξ) по базису оператора
ˆ
F (см. таблицу 3.1). Для определен-
ности ограничимся случаем дискретного спектра:
Φ(ξ) =
X
n
c
n
Ψ
n
(ξ). (3.16)
Функция Φ(ξ) задает такое состояние, в котором в общем случае
величина F не имеет определенного значения. Данный факт проявля-
ется в том, что при многократных измерениях получается некоторый
разброс наблюдаемых значений F . Каждое из них появляется с веро-
ятностью
w
n
= |c
n
|
2
. (3.17)
Если известны наблюдаемые значения величины F в состоянии Ψ(ξ) и
вероятности их обнаружения, то в соответствии с теоремой о матема-
тическом ожидании для вычисления среднего значения можно исполь-
зовать выражение:
hF i =
X
n
F
n
w
n
=
X
n
F
n
|c
n
|
2
, (3.18)
которое эквивалентно (3.1).
Пример 3.8. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функ-
цией
Φ(ϕ) = A[1 + cos ϕ + cos 2ϕ]. (3.19)
Найти: наблюдаемые значения L
z
, вероятности их обнаружения,
hL
z
i, h(∆L
z
)
2
i.
Решение. Специфическая зависимость Φ(ϕ) позволяет решить задачу
алгебраическими методами на основе формулы Эйлера и результатов
примера 3.5. Вначале разложим функцию Φ(ϕ) по базису оператора
ˆ
L
z
[см. (1.13)]:
41
Решение. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что собствен-
ные функции не изменятся, а собственные значения возведутся в квад-
рат.                                                             �
   Следствие 1. Если невырожденные собственные значения операто-
ра F̂ располагаются симметрично относительно нуля, то собственные
значения F̂ 2 будут двукратно вырождены.
   Следствие 2. Если функция f (z) допускает разложения в ряд Тей-
лора, а у оператора F̂ известны базис и спектр, то
                      f (F̂ )Ψn (ξ) = f (Fn )Ψn (ξ).            (3.15)
   Проясним теперь смысл коэффициентов разложения произвольной
функции Φ(ξ) по базису оператора F̂ (см. таблицу 3.1). Для определен-
ности ограничимся случаем дискретного спектра:
                               �
                        Φ(ξ) =     cn Ψn (ξ).                   (3.16)
                                   n

   Функция Φ(ξ) задает такое состояние, в котором в общем случае
величина F не имеет определенного значения. Данный факт проявля-
ется в том, что при многократных измерениях получается некоторый
разброс наблюдаемых значений F . Каждое из них появляется с веро-
ятностью
                            wn = |cn |2 .                   (3.17)
Если известны наблюдаемые значения величины F в состоянии Ψ(ξ) и
вероятности их обнаружения, то в соответствии с теоремой о матема-
тическом ожидании для вычисления среднего значения можно исполь-
зовать выражение:
                          �          �
                   �F � =   Fn w n =    Fn |cn |2 ,          (3.18)
                              n           n

которое эквивалентно (3.1).
Пример 3.8. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функ-
цией
                  Φ(ϕ) = A[1 + cos ϕ + cos 2ϕ].             (3.19)
Найти: наблюдаемые значения Lz , вероятности их обнаружения,
�Lz �, �(ΔLz )2 �.
Решение. Специфическая зависимость Φ(ϕ) позволяет решить задачу
алгебраическими методами на основе формулы Эйлера и результатов
примера 3.5. Вначале разложим функцию Φ(ϕ) по базису оператора L̂z
[см. (1.13)]:



                                   41

Страницы