Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Подобно (3.7) уравнение (3.11) является линейным однородным
дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его реше-
ние также ищется в виде
Ψ(x) = A e
iλx
(3.12)
с неизвестной в общем случае комплексной константой λ.
Выражение (3.12) удовлетворяет условиям однозначности и непре-
рывности функции Ψ(x). Подстановка (3.12) в уравнение (3.11) превра-
щает его в алгебраическое уравнение
p
x
= }λ (3.13)
с двумя неизвестными p
x
и λ. Чтобы определить допустимые значения
λ, представим эту константу в явном комплексном виде:
λ = λ
0
+ iµ
0
,
где λ
0
и µ
0
— вещественные. При таком представлении λ легко заме-
тить, что функция (3.12) будет конечной только при µ
0
= 0, т. е. при
вещественных λ. Поэтому, в соответствии с (3.13), собственным значе-
нием проекции импульса будет произвольное вещественное число, т. е.
у оператора ˆp
x
будет непрерывный спектр.
Вычислим теперь нормировочную константу. В соответствии с
табл. 3.1, собственные функции оператора с непрерывным спектром
должны быть нормированы на δ-функцию:
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
p
0
x
(x)Ψ
p
x
(x) dx = |A|
2
Z
+∞
−∞
exp
i
}
x(p
x
− p
0
x
)
dx
(Г.20)
=
= 2π|A|
2
δ
p
x
− p
0
x
}
(Г.19)
= 2π}|A|
2
δ(p
0
x
− p
x
) = δ(p
0
x
− p
x
),
откуда A = 1/
√
2π}.
Выпишем собственные функции оператора проекции импульса:
Ψ
p
x
(x) =
1
√
2π}
exp
i
}
p
x
x
.
(3.14)
Предлагаем самостоятельно проверить свойства собственных функ-
ций и собственных значений ˆp
x
. Как и в случае с
ˆ
L
z
, спектр ˆp
x
будет
тоже невырожденным.
Пример 3.7. Найти собственные функции и собственные значения
оператора
ˆ
F
2
, зная базис и спектр оператора
ˆ
F .
40
   Подобно (3.7) уравнение (3.11) является линейным однородным
дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому его реше-
ние также ищется в виде

                                       Ψ(x) = A eiλx                                (3.12)

с неизвестной в общем случае комплексной константой λ.
   Выражение (3.12) удовлетворяет условиям однозначности и непре-
рывности функции Ψ(x). Подстановка (3.12) в уравнение (3.11) превра-
щает его в алгебраическое уравнение

                                             px = �λ                                (3.13)

с двумя неизвестными px и λ. Чтобы определить допустимые значения
λ, представим эту константу в явном комплексном виде:

                                        λ = λ0 + iµ0 ,

где λ0 и µ0 — вещественные. При таком представлении λ легко заме-
тить, что функция (3.12) будет конечной только при µ 0 = 0, т. е. при
вещественных λ. Поэтому, в соответствии с (3.13), собственным значе-
нием проекции импульса будет произвольное вещественное число, т. е.
у оператора p̂x будет непрерывный спектр.
   Вычислим теперь нормировочную константу. В соответствии с
табл. 3.1, собственные функции оператора с непрерывным спектром
должны быть нормированы на δ-функцию:
  �                                          �            �             �
      +∞                                         +∞
                                                           i               (Г.20)
           Ψ∗p�x (x)Ψpx (x) dx   = |A|   2
                                                       exp   x(px − px ) dx =
                                                                     �
      −∞                                         −∞        �
                            �                �
                                px −   p�x       (Г.19)
               = 2π|A|2 δ                         = 2π�|A|2 δ(p�x − px ) = δ(p�x − px ),
                                   �
             √
откуда A = 1/ 2π�.
   Выпишем собственные функции оператора проекции импульса:
                                             �       �
                                      1        i
                          Ψpx (x) = √    exp     px x .                             (3.14)
                                     2π�       �

   Предлагаем самостоятельно проверить свойства собственных функ-
ций и собственных значений p̂x . Как и в случае с L̂z , спектр p̂x будет
тоже невырожденным.                                                   �

Пример 3.7. Найти собственные функции и собственные значения
оператора F̂ 2 , зная базис и спектр оператора F̂ .

                                                  40

Страницы