Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Таблица 3.1
Свойства собственных значений и собственных функций
линейного эрмитова оператора
Свойство Дискретный спектр Непрерывный сректр
уравнение
ˆ
F Ψ
n
(ξ) = F
n
Ψ
n
(ξ)
ˆ
F Ψ
F
(ξ) = F Ψ
F
(ξ)
ортонорм.
R
Ψ
∗
n
0
(ξ)Ψ
n
(ξ) dξ = δ
n
0
n
R
Ψ
∗
F
0
(ξ)Ψ
F
(ξ) dξ = δ(F
0
− F )
полнота
P
n
Ψ
∗
n
(ξ)Ψ
n
(ξ
0
) = δ(ξ
0
− ξ)
R
Ψ
∗
F
(ξ)Ψ
F
(ξ
0
) dF = δ(ξ
0
− ξ)
разлож. Φ(ξ) =
P
n
c
n
Ψ
n
(ξ) Φ(ξ) =
R
c(F )Ψ
F
(ξ) dF
по c
n
=
R
Ψ
∗
n
(ξ)Φ(ξ) dξ c(F ) =
R
Ψ
∗
F
(ξ)Φ(ξ) dξ
базису
P
n
|c
n
|
2
= 1
R
|c(F )|
2
dF = 1
Итак, данное в условии утверждение доказано; найдено собственное
значение F = −1.
Собственные значения и собственные функции линейных эрмито-
вых операторов обладают рядом специфических свойств. Перечислим
их:
1) собственные значения вещественны;
2) собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны
3
;
3) система собственных функций полна в классе тех функций, на
которых этот оператор задается, т. е. она образует базис оператора.
Математические выражения важнейших свойств собраны в таблице
3.1 применительно к операторам с дискретным и непрерывным спек-
тром.
Пример 3.4 не характерен для задачи собственных функций и соб-
ственных значений оператора
ˆ
F . Обычно неизвестными бывают как
собственные значения F , так и собственные функции Ψ
F
(ξ).
Пример 3.5. Найти наблюдаемые значения L
z
и соответствующие
им волновые функции.
Решение. В уравнении для собственных функций и собственных значе-
ний
ˆ
L
z
Ψ = L
z
Ψ
3
Собственные функции, соответствующие одному и тому же вырожденному соб-
ственному значению, не обязаны быть ортогональными; из них, однако, можно по-
строить ортогональные линейные комбинации (процедура Грама – Шмидта).
38
                                                                         Таблица 3.1
      Свойства собственных значений и собственных функций
                  линейного эрмитова оператора

 Свойство           Дискретный спектр                     Непрерывный сректр
 уравнение           F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ)                  F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ)
                �                                   �
 ортонорм.          Ψ∗n� (ξ)Ψn (ξ) dξ = δn� n           Ψ∗F � (ξ)ΨF (ξ) dξ = δ(F � − F )
               �                                    �
  полнота           Ψ∗n (ξ)Ψn (ξ � ) = δ(ξ � − ξ)       Ψ∗F (ξ)ΨF (ξ � ) dF = δ(ξ � − ξ)
                n
                               �                                  �
  разлож.            Φ(ξ) =        cn Ψn (ξ)             Φ(ξ) = c(F )ΨF (ξ) dF
                               n
                           �                                       �
      по            cn = Ψ∗n (ξ)Φ(ξ) dξ                  c(F ) = Ψ∗F (ξ)Φ(ξ) dξ
                          �                                   �
   базису                    |cn |2 = 1                         |c(F )|2 dF = 1
                          n



Итак, данное в условии утверждение доказано; найдено собственное
значение F = −1.                                              �
    Собственные значения и собственные функции линейных эрмито-
вых операторов обладают рядом специфических свойств. Перечислим
их:
    1) собственные значения вещественны;
    2) собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, взаимно ортогональны 3 ;
    3) система собственных функций полна в классе тех функций, на
которых этот оператор задается, т. е. она образует базис оператора.
    Математические выражения важнейших свойств собраны в таблице
3.1 применительно к операторам с дискретным и непрерывным спек-
тром.
    Пример 3.4 не характерен для задачи собственных функций и соб-
ственных значений оператора F̂ . Обычно неизвестными бывают как
собственные значения F , так и собственные функции Ψ F (ξ).
Пример 3.5. Найти наблюдаемые значения Lz и соответствующие
им волновые функции.
Решение. В уравнении для собственных функций и собственных значе-
ний
                            L̂z Ψ = Lz Ψ
  3 Собственные функции, соответствующие одному и тому же вырожденному соб-
ственному значению, не обязаны быть ортогональными; из них, однако, можно по-
строить ортогональные линейные комбинации (процедура Грама – Шмидта).



                                          38

Страницы