Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 38 стр.

3.2.     Определенные значения физических величин
    Описанная выше методика измерения физической величины F у
микрообъекта дает ненулевые значения �(ΔF ) 2 � даже в случае иде-
ального прибора с нулевой погрешностью. Такая неопределенность в
значении величины F есть объективное свойство движения в микро-
мире. Поэтому возникает проблема поиска состояний с определенными
значениями F . Определенность (измеримость) величины F в некото-
ром состоянии квантовой системы означает, что при каждом акте ее
измерения будет получаться одно и то же значение этой величины.
Данная проблема решается, если отождествить получаемые в экспери-
менте значения физической величины F с собственными значениями
ее оператора F̂ , а соответствующие состояния изображать соответству-
ющими этим значениям собственными функциями оператора F̂ :

                                F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).                             (3.6)

    С математической точки зрения уравнение (3.6) представляет собой
задачу собственных функций и собственных значений оператора F̂ . Она
требует отыскания нетривиальных [ΨF (ξ) �≡ 0] решений уравнения
(3.6) с заданными граничными условиями. Выбор последних диктует-
ся физическими стандартными условиями, которым подчиняется вол-
новая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В общем
случае F̂ представляет собой линейный дифференциальный оператор,
так что уравнение (3.6) является линейным однородным дифференци-
альным уравнением 2 . Однородность приводит к неоднозначности его
решений: они определены с точностью до произвольного постоянного
множителя, т. е. должны быть нормированы.
                                                              2
Пример 3.4. Показать, что функция Ψ(x) = e −x /2 является соб-
                                  d2
ственной функцией оператора F̂ =      − x2 , и найти соответству-
                                 dx 2
ющее собственное значение.
Решение. Необходимо лишь показать, что действие оператора F̂ на
функцию Ψ(x) приводит к умножению последней на некоторую кон-
станту. Ее значение при этом будет получено автоматически:
              �             �
                   d2           −x2 /2    d2 −x2 /2     2 −x2 /2
  F̂ Ψ(x) =           − x 2
                              e        =     e      − x  e       =
                  dx2                    dx2
                                                                 2
                                                        = −e−x       /2
                                                                          = −1 Ψ(x).
                                                                            ����
                                                                             F
  2   Как правило, не выше второго порядка.


                                         37