Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Пример 3.3. Для волнового пакета из примера 1.3 вычислить hxi,
h(∆x)
2
i; hp
x
i, h(∆p
x
)
2
i.
Решение. Нормировочная константа вычислена в примере 1.3, так что
нормированная волновая функция имеет вид
Ψ(x) =
1
p
x
0
√
π
exp
−
x
2
2x
2
0
+ ik
0
x
, (3.5)
а средние значения вычисляются по формуле (3.1).
Для координаты
hxi =
1
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
x exp
−
x
2
x
2
0
dx = 0
вследствие нечетности подынтегральной функции. Обратите внимание
на исчезновение множителя e
ik
0
x
при возведении его модуля в квадрат!
Для среднеквадратичного отклонения координаты
h(∆x)
2
i
(3.4)
= hx
2
i − hxi
2
= hx
2
i =
1
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
x
2
exp
−
x
2
x
2
0
dx =
= (x = x
0
ξ) =
x
2
0
√
π
Z
+∞
−∞
ξ
2
e
−ξ
2
dξ
(А.3)
=
x
2
0
2
.
Оператор импульса — дифференциальный. Поэтому
hp
x
i =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)ˆp
x
Ψ(x) dx = −i}
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)
∂Ψ(x)
∂x
dx =
= −
i}
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
−
x
x
2
0
+ ik
0
exp
−
x
2
x
2
0
dx = }k
0
;
hp
2
x
i =
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)ˆp
2
x
Ψ(x) dx = −}
2
Z
+∞
−∞
Ψ
∗
(x)
∂
2
Ψ(x)
∂x
2
dx =
= −}
2
Ψ
∗
(x)
∂Ψ(x)
∂x
+∞
−∞
| {z }
0
+}
2
Z
+∞
−∞
∂Ψ(x)
∂x
2
dx =
=
}
2
x
0
√
π
Z
+∞
−∞
x
2
x
4
0
+ k
2
0
exp
−
x
2
x
2
0
dx =
}
2
2x
2
0
+ }
2
k
2
0
;
h(∆p
x
)
2
i
(3.4)
= hp
2
x
i − hp
x
i
2
=
}
2
2x
2
0
.
Рекомендуем самостоятельно проделать все промежуточные выкладки.
36
Пример 3.3. Для волнового пакета из примера 1.3 вычислить �x�,
�(Δx)2 �; �px �, �(Δpx )2 �.
Решение. Нормировочная константа вычислена в примере 1.3, так что
нормированная волновая функция имеет вид
                                  �           �
                         1           x2
                Ψ(x) = � √ exp − 2 + ik0 x ,                 (3.5)
                        x0 π        2x0
а средние значения вычисляются по формуле (3.1).
   Для координаты
                          � +∞       � 2�
                       1               x
                �x� = √         x exp − 2 dx = 0
                     x0 π −∞           x0
вследствие нечетности подынтегральной функции. Обратите внимание
на исчезновение множителя eik0 x при возведении его модуля в квадрат!
Для среднеквадратичного отклонения координаты
                                        � +∞        � 2�
        2 (3.4)                     1                  x
  �(Δx) � = �x � − �x� = �x � = √
                2      2    2
                                               x exp − 2 dx =
                                                2
                                  x0 π −∞              x0
                                              � +∞
                                          x20       2 −ξ 2
                                                                  2
                                                           (А.3) x0
                          = (x = x0 ξ) = √         ξ e dξ =         .
                                            π −∞                 2
   Оператор импульса — дифференциальный. Поэтому
          � +∞                        � +∞
                                                  ∂Ψ(x)
  �px � =      Ψ (x)p̂x Ψ(x) dx = −i�
                ∗
                                           Ψ∗ (x)       dx =
           −∞                          −∞          ∂x
                               � +∞ �           �    � 2�
                           i�            x              x
                   =− √               − 2 + ik0 exp − 2 dx = �k0 ;
                         x0 π −∞        x0              x0

             �                                             �
                 +∞
                                                    ∂ 2 Ψ(x)   +∞
  �p2x �   =    Ψ     ∗
                          (x)p̂2x Ψ(x) dx
                                = −�          Ψ (x)   2
                                                             dx =       ∗
             −∞                         −∞            ∂x2
                                 �+∞       � +∞ �        �2
                           ∂Ψ(x) �              � ∂Ψ(x)  �
              = −�2 Ψ∗ (x)       �    +� 2      �        � dx =
                                 �
                             ∂x −∞              �  ∂x �
                                            −∞
                    �       ��      �
                                      0
                                  �   +∞    �             �  � 2�
                             �2
                                                  x2           x       �2
                      =       √                      + k0 exp − 2 dx = 2 + �2 k02 ;
                                                        2
                           x0 π       −∞
                                                   4
                                                  x0           x0     2x0
                                             �2
                                          (3.4)
                 �(Δpx ) � =      − �px � = 2 .
                                      2
                                                  �p2x �            2
                                            2x0
Рекомендуем самостоятельно проделать все промежуточные выкладки.
                                                              �


                                                    36

Страницы