Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Докажем вещественность среднего значения F , предполагая
ˆ
F самосопряженным:
hF i
∗
(3.1)
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Ψ
∗
(ξ) dξ
(2.39)
=
Z
Ψ
∗
(ξ)
ˆ
F Ψ(ξ) dξ
(3.1)
= hF i.
Доказать обратное утверждение несложно.
Таким образом, для вещественности среднего значения физической
величины оператор этой физической величины должен быть самосо-
пряженным. Помимо линейности, это второе требование, предъявляе-
мое к оператору физической величины.
Формулу среднего значения F в состоянии с волновой функцией
Ψ(ξ) можно также представить в дираковских обозначениях:
hF i = hΨ|
ˆ
F |Ψi. (3.2)
Пример 3.2. Показать, что среднее значение квадрата физической
величины F неотрицательно.
Решение. В соответствии со сказанным выше оператор
ˆ
F должен
быть самосопряженным. Поэтому
ˆ
F
2
тоже будет самосопряженным
[см. (2.37)], а hF
2
i — вещественным. Дальнейшее доказательство удобно
проводить в дираковских обозначениях, предполагая
ˆ
F =
ˆ
F
†
:
hF
2
i
(3.2)
= hΨ|
ˆ
F
2
|Ψi = hΨ|
ˆ
F |
ˆ
F Ψi
(2.40)
= h
ˆ
F Ψ |
ˆ
F Ψi =
Z
|
ˆ
F Ψ(ξ)|
2
dξ.
Последний интеграл будет величиной неотрицательной, что и доказы-
вает наше утверждение.
Следует предостеречь читателя от возможной путаницы между hF
2
i
и hF i
2
. И вообще, hf(F )i 6= f(hF i) только за исключением случая ли-
нейной функции f(z).
Описанный выше способ измерения физической величины F дает
с математической точки зрения последовательность случайных чисел.
Характеристикой их разброса относительно среднего значения служит
среднеквадратичное отклонение:
h(∆F )
2
i
def
= h(F − hF i)
2
i. (3.3)
Более удобной формулой для вычисления h(∆F )
2
i по сравнению с (3.3)
является
h(∆F )
2
i = hF
2
i −hFi
2
. (3.4)
35
Решение. Докажем вещественность среднего значения F , предполагая
F̂ самосопряженным:
                  �                       �
          ∗ (3.1)                  (2.39)                   (3.1)
      �F � =        Ψ(ξ)F̂ Ψ (ξ) dξ =
                          ∗ ∗
                                            Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ = �F �.

Доказать обратное утверждение несложно.                                                 �
   Таким образом, для вещественности среднего значения физической
величины оператор этой физической величины должен быть самосо-
пряженным. Помимо линейности, это второе требование, предъявляе-
мое к оператору физической величины.
   Формулу среднего значения F в состоянии с волновой функцией
Ψ(ξ) можно также представить в дираковских обозначениях:

                            �F � = �Ψ| F̂ |Ψ� .                                   (3.2)

Пример 3.2. Показать, что среднее значение квадрата физической
величины F неотрицательно.
Решение. В соответствии со сказанным выше оператор F̂ должен
быть самосопряженным. Поэтому F̂ 2 тоже будет самосопряженным
[см. (2.37)], а �F 2 � — вещественным. Дальнейшее доказательство удобно
проводить в дираковских обозначениях, предполагая F̂ = F̂ † :
                                                                   �
        (3.2)                           (2.40)
  �F � = �Ψ| F̂ |Ψ� = �Ψ| F̂ | F̂ Ψ�
    2            2
                                            =    �F̂ Ψ | F̂ Ψ� =       |F̂ Ψ(ξ)|2 dξ.

Последний интеграл будет величиной неотрицательной, что и доказы-
вает наше утверждение.                                         �
   Следует предостеречь читателя от возможной путаницы между �F 2 �
и �F �2 . И вообще, �f (F )� �= f (�F �) только за исключением случая ли-
нейной функции f (z).
   Описанный выше способ измерения физической величины F дает
с математической точки зрения последовательность случайных чисел.
Характеристикой их разброса относительно среднего значения служит
среднеквадратичное отклонение:

                                 def
                        �(ΔF )2 � = �(F − �F �)2 �.                               (3.3)

Более удобной формулой для вычисления �(ΔF ) 2 � по сравнению с (3.3)
является
                     �(ΔF )2 � = �F 2 � − �F �2 .               (3.4)


                                       35

Страницы