Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Неизвестными являются как L
z
, так и Ψ. Это уравнение удобно пере-
писать в сферической системе координат, где вид
ˆ
L
z
будет наиболее
простым [см. (2.31)]:
−i}
∂Ψ(ϕ)
∂ϕ
= L
z
Ψ(ϕ); 0 6 ϕ < 2π. (3.7)
Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого поряд-
ка. Поэтому его решение ищем в виде
Ψ(ϕ) = A e
iλϕ
, (3.8)
где A — произвольная ненулевая константа, обусловленная однородно-
стью уравнения (2.31), λ — подлежащая определению константа. Выбор
решения в виде (3.8) обеспечивает конечность (почему?) и непрерыв-
ность волновой функции.
После подстановки (3.8) дифференциальное уравнение (3.7) превра-
щается в алгебраическое:
}λ = L
z
. (3.9)
В уравнении (3.8) неизвестное L
z
выражается через неизвестное λ. Тем
не менее, значения λ определяются требованием однозначности: функ-
ция полярного угла должна быть 2π-периодичной (см. пример 1.4). По-
этому λ может принимать только целые значения: λ
m
l
= m
l
= 0, ±1, . . .
Соответственно
L
z,m
l
(3.9)
= } m
l
; m
l
= 0, ±1, . . .
(3.10)
В том же примере получены и нормированные собственные функции
(1.11).
Таким образом, спектр оператора
ˆ
L
z
дискретный и невырожденный.
Рекомендуем самостоятельно проверить свойства собственных зна-
чений и собственных функций линейного эрмитова оператора
ˆ
L
z
.
Пример 3.6. Найти наблюдаемые значения проекции импульса и со-
ответствующие им волновые функции.
Решение. Для удобства рассмотрим декартову компоненту импульса
p
x
. Вид оператора ˆp
x
дается выражением (2.15), так что уравнение для
собственных функций и собственных значений принимает вид:
−i}
∂Ψ(x)
∂x
= p
x
Ψ(x). (3.11)
Неизвестными здесь будут как сама функция, так и собственное значе-
ние p
x
. В отличие от (3.7) аргумент функции изменяется в бесконечных
пределах.
39
Неизвестными являются как Lz , так и Ψ. Это уравнение удобно пере-
писать в сферической системе координат, где вид L̂z будет наиболее
простым [см. (2.31)]:
                      ∂Ψ(ϕ)
                −i�         = Lz Ψ(ϕ);             0 � ϕ < 2π.    (3.7)
                       ∂ϕ
Это линейное однородное дифференциальное уравнение первого поряд-
ка. Поэтому его решение ищем в виде
                                 Ψ(ϕ) = A eiλϕ ,                  (3.8)
где A — произвольная ненулевая константа, обусловленная однородно-
стью уравнения (2.31), λ — подлежащая определению константа. Выбор
решения в виде (3.8) обеспечивает конечность (почему?) и непрерыв-
ность волновой функции.
   После подстановки (3.8) дифференциальное уравнение (3.7) превра-
щается в алгебраическое:
                               �λ = Lz .                       (3.9)
В уравнении (3.8) неизвестное Lz выражается через неизвестное λ. Тем
не менее, значения λ определяются требованием однозначности: функ-
ция полярного угла должна быть 2π-периодичной (см. пример 1.4). По-
этому λ может принимать только целые значения: λ ml = ml = 0, ±1, . . .
Соответственно
                         (3.9)
                  Lz,ml = � ml ;            ml = 0, ±1, . . .    (3.10)

В том же примере получены и нормированные собственные функции
(1.11).
    Таким образом, спектр оператора L̂z дискретный и невырожденный.
    Рекомендуем самостоятельно проверить свойства собственных зна-
чений и собственных функций линейного эрмитова оператора L̂z . �

Пример 3.6. Найти наблюдаемые значения проекции импульса и со-
ответствующие им волновые функции.
Решение. Для удобства рассмотрим декартову компоненту импульса
px . Вид оператора p̂x дается выражением (2.15), так что уравнение для
собственных функций и собственных значений принимает вид:
                                 ∂Ψ(x)
                         −i�           = px Ψ(x).                (3.11)
                                  ∂x
Неизвестными здесь будут как сама функция, так и собственное значе-
ние px . В отличие от (3.7) аргумент функции изменяется в бесконечных
пределах.

                                       39

Страницы