Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Решение. В случае свободного движения в уравнении Шредингера от-
сутствует слагаемое с потенциальной энергией, и оно приводится к ви-
ду:
ˆp
2
x
Ψ(x) = 2mEΨ(x).
Дальнейшее рассмотрение проводится в соответствии с примерами 3.6
и 3.7. Ненормированные волновые функции стационарных состояний
Ψ
(±)
E
(x) = A
(±)
E
exp
±
i
}
px
,
где
p =
√
2mE, E > 0.
Свободное движение является инфинитным, поэтому его спектр
непрерывен. При E > 0 стационарные состояния будут двукратно вы-
рождены в соответствии с тем, что движение с импульсом p возможно
как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ox. Та-
ким образом, вырождение здесь идет по знаку проекции импульса.
Пример 4.5. Решить задачу предыдущего примера для свободного
трехмерного движения.
Решение. По аналогии с решением предыдущей задачи, получаем:
Ψ
(p)
E
(r) = A
(p)
E
exp
±
i
}
pr
,
где
p
2
=
√
2mE, E > 0,
направление импульса p произвольно. Все возбужденные состояния бу-
дут здесь вырождены с бесконечной кратностью в соответствии с беско-
нечным числом способов ориентации вектора с заданным абсолютным
значением.
Пример 4.6. Найти энергии стационарных состояний плоского ро-
татора с моментом инерции I.
Решение. Гамильтониан вращательного движения ротатора можно по-
лучить по аналогии с гамильтонианом поступательного движения ма-
териальной точки. Для этого в классической функции Гамильтона для
плоского ротатора H =
L
2
z
2I
заменим L
z
→
ˆ
L
z
. Теперь можно записать
стационарное уравнение Шредингера для ротатора и привести его к
виду:
ˆ
L
2
z
Ψ(ϕ) = 2IEΨ(ϕ).
50
Решение. В случае свободного движения в уравнении Шредингера от-
сутствует слагаемое с потенциальной энергией, и оно приводится к ви-
ду:
                         p̂2x Ψ(x) = 2mEΨ(x).
Дальнейшее рассмотрение проводится в соответствии с примерами 3.6
и 3.7. Ненормированные волновые функции стационарных состояний
                                     �      �
                     (±)      (±)       i
                    ΨE (x) = AE exp ± px ,
                                        �
где                         √
                       p=       2mE,    E � 0.
   Свободное движение является инфинитным, поэтому его спектр
непрерывен. При E > 0 стационарные состояния будут двукратно вы-
рождены в соответствии с тем, что движение с импульсом p возможно
как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ox. Та-
ким образом, вырождение здесь идет по знаку проекции импульса. �

Пример 4.5. Решить задачу предыдущего примера для свободного
трехмерного движения.
Решение. По аналогии с решением предыдущей задачи, получаем:
                                    �     �
                     (p)      (p)      i
                    ΨE (r) = AE exp ± pr ,
                                       �
где                      √
                      p = 2mE,
                        2
                                        E � 0,
направление импульса p произвольно. Все возбужденные состояния бу-
дут здесь вырождены с бесконечной кратностью в соответствии с беско-
нечным числом способов ориентации вектора с заданным абсолютным
значением.                                                        �

Пример 4.6. Найти энергии стационарных состояний плоского ро-
татора с моментом инерции I.
Решение. Гамильтониан вращательного движения ротатора можно по-
лучить по аналогии с гамильтонианом поступательного движения ма-
териальной точки. Для этого в классической функции Гамильтона для
                       L2
плоского ротатора H = z заменим Lz → L̂z . Теперь можно записать
                       2I
стационарное уравнение Шредингера для ротатора и привести его к
виду:
                        L̂2z Ψ(ϕ) = 2IEΨ(ϕ).


                                   50

Страницы