Задачи по квантовой механике. Ч. 1. Копытин И.В - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

На основании примеров 3.5 и 3.7 получаем решение:
E
m
=
}
2
m
2
2I
; Ψ
m
(ϕ) =
e
imϕ
√
2π
, m = 0, ±1, . . .
Все стационарные состояния, за исключением основного, двукратно вы-
рождены. Это связано с двумя возможными направлениями вращения
ротатора вокруг закрепленной оси.
Пример 4.7. Система с не зависящим от времени гамильтонианом в
начальный момент времени находилась в состоянии с волновой функ-
цией Ψ(ξ, 0). Найти волновую функцию этой системы в последующие
моменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис систе-
мы предполагаются известными.
Решение. Разложим Ψ(ξ, 0) по базису стационарных состояний системы
и используем их зависимостью от времени (4.6):
Ψ(ξ, t > 0) =
X
n
c
n
Ψ
n
(ξ) exp
−
i
}
E
n
t
. (4.9)
Здесь
ˆ
HΨ
n
(ξ) = E
n
Ψ
n
(ξ); c
n
=
Z
Ψ
∗
n
(ξ)Ψ(ξ, 0) dξ.
Пример 4.8. Состояние свободной частицы массы m в начальный
момент времени задается волновым пакетом из примера 1.3. Пока-
зать, что с течением времени пакет «расплывается». Найти закон
«расплывания».
Решение. В момент t = 0 плотность вероятности местоположения будет
гауссовой с шириной x
0
. Ее максимум будет двигаться со скоростью
}k
0
/m, совпадающей со средней классической скоростью частицы (в
волновой оптике такая скорость называется групповой).
Задачу решаем на основе предыдущего примера. Вначале найдем
эволюцию волнового пакета во времени. Энергетический спектр здесь
будет непрерывным, а в качестве базисных функций удобно использо-
вать (3.14):
Ψ(x, t > 0)
(4.9)
=
Z
+∞
−∞
c(p)Ψ
p
(x) exp
−
i
}
Et
dp
(3.14)
=
=
1
√
2π
Z
+∞
−∞
c(p) exp
i
}
px −
i}t
2m
p
2
dp, (4.10)
51
На основании примеров 3.5 и 3.7 получаем решение:

                 �2 m 2                   eimϕ
          Em   =        ;        Ψm (ϕ) = √ ,             m = 0, ±1, . . .
                  2I                        2π
Все стационарные состояния, за исключением основного, двукратно вы-
рождены. Это связано с двумя возможными направлениями вращения
ротатора вокруг закрепленной оси.                                �

Пример 4.7. Система с не зависящим от времени гамильтонианом в
начальный момент времени находилась в состоянии с волновой функ-
цией Ψ(ξ, 0). Найти волновую функцию этой системы в последующие
моменты времени Ψ(ξ, t > 0). Энергетический спектр и базис систе-
мы предполагаются известными.
Решение. Разложим Ψ(ξ, 0) по базису стационарных состояний системы
и используем их зависимостью от времени (4.6):
                             �              �      �
                                              i
               Ψ(ξ, t > 0) =   cn Ψn (ξ) exp − En t .          (4.9)
                             n
                                              �

Здесь                                            �
            ĤΨn (ξ) = En Ψn (ξ);        cn =        Ψ∗n (ξ)Ψ(ξ, 0) dξ.

                                                                             �

Пример 4.8. Состояние свободной частицы массы m в начальный
момент времени задается волновым пакетом из примера 1.3. Пока-
зать, что с течением времени пакет «расплывается». Найти закон
«расплывания».
Решение. В момент t = 0 плотность вероятности местоположения будет
гауссовой с шириной x0 . Ее максимум будет двигаться со скоростью
�k0 /m, совпадающей со средней классической скоростью частицы (в
волновой оптике такая скорость называется групповой).
    Задачу решаем на основе предыдущего примера. Вначале найдем
эволюцию волнового пакета во времени. Энергетический спектр здесь
будет непрерывным, а в качестве базисных функций удобно использо-
вать (3.14):
                    �                        �     �
            (4.9)
                        +∞
                                              i          (3.14)
  Ψ(x, t > 0) =              c(p)Ψp (x) exp − Et dp =
                        −∞                    �
                                     � +∞           �                 �
                                  1                   i         i�t 2
                              =√           c(p) exp     px −       p dp, (4.10)
                                  2π −∞               �         2m

                                        51

Страницы